Por qué el 3 divide a todo número cuya suma de sus dígitos es divible por 3?

Answer 1

Todo número se puede escribir como
a+b*10+c*100+d*1000+...
todas la potencias de 10 se pueden escribir como 3K+1
Por tanto toda la parte b*3k+c*3k'+d*3k''... es divisible por 3
De ahi que el número total va a ser divisible por 3 si divide a
a + b +c +d +...

Answer 2

Te lo muestro para el caso de tres dígitos, pero la demostración puede generalizarse:
Todo número "N" de tres cifras puede escribirse de la forma:
N = 100C + 10D + U, donde:
C : representa al dígito de las centenas;
D : representa al dígito de las decenas; y
U : representa al dígito de las unidades.

Entonces:
N = 100C + 10D + U = (99+1)C + (9+1)D + U =
N = (99C + 9D) + (C + D + U) = 9(11C + D) + (C + D + U)

Si dividimos a ambos miembros por 3 quedará:
N/3 = 3(11C + D) + [(C + D + U)/3]

Si la suma de los dígitos que componen el número (C + D + U) es múltiplo de 3, entonces: (C + D + U)/3 será un número entero.
Ese valor sumado a otro número entero "3(11C + D)", es otro entero. Se concluye que "N/3" es entero y por ende "N" es múltiplo de "3".
...

Answer 3

sabias que puedes escribir cada numero como una suma de potencias de 10?

es decir 567, lo puedes escribir como: 5x100+6x10+7

y esto es lo que me ayuda para saber que condiciones se tienen que cumplir para determinar si un numero es divisible por otro.


suponiendo que tenemos el numero de tres cifras xyz
y quiero saber cuando [xyz]/3=[100x+10y+z]/3
que lo puedo escribir asi:
[(99x+x)+(9y+y)+z]/3 se escribe asi por conveniencia pues 99 y 9 son los mayores multiplos de 3 contenidos en 100 y 10 respectivamente,
luego lo reordenamos:
[(99x+9y)+x+y+z]/3 y para que esta suma sea divisible por falta que la suma x+y+z sea divisible por tres pues 99x+9y ya lo es,
de modo que si garantizo que la suma de sus digitos es divisible por tres todo el numero lo sera.

y lo mismo sucederia para un numero de 4 o mas cifras...

espero que esto te ayude, y no te confunda mas, sino me avisas

Answer 4

Tu pregunta también me pareció interesante. He encontrado una explicación en texto inglés que traduzco a continuación:

Supongamos (para simplificar cálculos) que tenemos un número de dos dígitos AB que sea divisible por tres.

Desarrollando en expansión decimal este número podemos resscribirlo como:

10xA + B (es como escribir 24 = 2x10 + 4)
Podemos reescribirlo como:
9xA + (A+B)
Sabemos que 9xA es divisible por 3, por lo tanto:
A+B es divisible por tres es decir, la suma de las cifras del número original).

¡Queda demostrado!

Suerte!

Answer 5

sabes, parece ser que la explicación a esta regla es la siguiente:
del 1 al 9 no hay problema, al llegar a la decena siguiente, la misma decena sube el valor en una unidad, y la unidad, baja en 1 también, es decir , el 12, la decena subió 1, y como solo hay 9 dígitos con valor absoluto, mas el cero, el siguiente numero divisible, el 12, tiene en las unidades, un valor absoluto, no posicional, disminuido en 1,por lo que la regla no se altera, es decir, sigue siendo divisible entre tres, esto ocurre siempre, al subir el valor a la siguiente decena, no se me había ocurrido pensar el porque,pero creo que llegue a esa conclusión y me parece cierta. buena pregunta

Answer 6

La propiedad de que un número sea divisible por 3 está asociada a la posibilidad de dividir la cantidad total de unidades que ese número representa en grupos de a tres. Dividir es repartir.
Seguramente, el tema de la suma de las cifras surgió inicialmente de la observación. Pero nunca me había hecho una pregunta como la que formulas, ni por qué los números que terminan en 00 son necesariamente divisibles por 4, y varias de las otras.
Te prometo que lo voy a pensar.

Answer 7

no ahora si no se por que razon

Answer 8

Es una regla de divisivilidad creada por los grandes matemáticos para ahorrarse la división para saber si el número es múltiplo de 3. XD