La mejor demostración de que la suma de los impares equivale a un cuadrado?

Answer 1

Aquí encontrarás la más bonita demostración. La dada en forma geométrica por los griegos.

platea.pntic.mec.es/aperez4/html/grecia/grecia.html

Answer 2

Cuentan que a los nueve años se le propone a la clase a la que asistía Gauss calcular la suma de los cien primeros números. Nada más terminar de proponer el problema, y el jovencito Gauss traza en su pizarrín: 5.050... la respuesta correcta.

Gauss se había dado cuenta de que la suma de la primera y la última cifra daba el mismo resultado que la suma de la segunda y la penúltima, etc., es decir: 1+ 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 101.
Como hay 50 parejas de números de esta forma el resultado se obtendrá multiplicando 101 . 50 = 5.050

Aquí puedes aplicar la misma idea a:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2n - 3) + (2n - 1)
______
Si "n" es par, por ejemplo "n = 6": 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 tendremos:
1 + (2n - 1) = 2n
3 + (2n - 3) = 2n... etc., etc, etc...

Se forman "n/2" (3) parejas de sumas igual a "2n". De modo que la suma es igual a: (n/2) * (2n) = n²
______
Y si "n" es impar, por ejemplo "n=5": 1 + 3 + 5 + 7 + 9
Se forman "(n-1)/2" (2) parejas que suman "2n" más el término medio que SIEMPRE es igual a "n". Entonces, la suma será:
[(n-1)/2 * 2n] + n = [n² - n] + n = n²
______
Por lo visto, el método que Gauss imaginó a los 9 años sirve para quitarnos muchas dudas.
...

Answer 3

En realidad se puede demostrar por inducción completa que :
1+3+5+7+...........+ (2n+1) = (n+1)^2
O sea que no es igual a cualquier cuadrado sino a un cuadrado relacionado con el número de términos.
Se prueba para n=1
2n+1 = 3 y n+1 = 2; por lo tanto si reemplazamos en la fórmula queda 1+3= 2^2
Verificado para n=1 , lo suponemos válido para n y lo demostramos para n+1

Suponemos que 1+3+5+7+ .....+(2n+1) = (n+1)^2

Tenempos que probar que 1+3+5+7+ .....+(2n+1)+(2n+3) = (n+2)^2

Partimos del primer miembro para llegar al segundo usando la hipótesis inductiva:

1+3+5+7+ .....+(2n+1)+(2n+3) = (n+1)^2 + (2n+3) = n^2 + 2n + 1 + 2n + 3 = n^2 + 4n + 4 = (n+2)^2

Verificado para n=1, supuesto válido para n y demostrado par n+1, por el principio de inducción completa se verifica para todo n perteneciente a los naturales

Answer 4

podemos hacer así:
sea la suma:
1+3+5+...+2n-1
esta es la suma del números impares hasta 2n-1 (mire, hay n números impares en esta secuencia)
entonces, usando la fórmula de P.A. tenemos:
1+2+3+...+2n-1=n*(2n-1 + 1)/2 = 2*n²/2 = n² .
como queríamos comprobar.

Answer 5

Para demostrarlo sumaremos los primeros n-esimos impares, los cuales son representados por la forma 2n+1, así tenemos
suma(2n+1,0,n)=1+(2(1)+1)+(2(2)+1)+....+(2n+1)
=suma(2n)+n(1)=2suma(n)+n

La operación de suma(n) se puede demostrar por diferencias finitas, obteniendo que suma(n)=n(n-1)/2, entonces:

=2n(n-1)/2+n=n(n-1)+n=n^2-n+n=n^2

con lo cual queda demostrado que la suma de los primeros n-ésimos impares es igual al cuadrado de n

1^2=1
2^2=1+3=4
3^2=1+3+5=9
4^2=1+3+5+7=16
... y así sucesivamente.

Answer 6

si sumas una serie consecutiva de números impares, te dará siempre la suma de un cuadrado.0+1=1;1+3=4;1+3+5=9...

Answer 7

a) Cuadrado de 3 : 1 + 3 + 5

Más Cuadrado de 4 : 1 + 3 + 5 + 7

Igual a Cuadrado de 5: 1 + 3 + 5 + 7 + 9

b) Cuadrado de 6 : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11

Más Cuadrado de 8 : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15

Igual Cuadrado de 10 : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19