dimostrazione?

Question

sia f(x) una funzione periodica di 2pigreco e continua su tutto R.
sia F(t)=integrale da zero a t di f(x)dx

F(t) è periodica se e solo se F(t) è limitata.

la domanda è del secondo esonero di analisi da me da poco fatto. al primo che risponde correttamente 10 punti, poi dirò la mia soluzione (che ancora non so se è giusta).

Answer 1

facile:
osservato che per ogni T di R
si ha che T = 2kpi + t con 0<=t<2 pi
F(T) = F(2kpi + t) =
(per la periodicità di f)
F(2kpi) + F(t) =
(sempre per la periodicità di f
k F(2pi) + F(t)

Ora consideriamo il valore di F(2pi)
Se è > 0 si avrà che F(t) tende a + infinito per t che tende a +infinito, e viceversa a - infinito per t che tende a - infinito
All'opposto se F(2pi) < 0 tenderà all'infinito opposto rispetto a t.
Se invece F(2pi) = 0 si ha che F è periodica essendo
F(T) = F(t) ove T = 2kpi + t con 0<=t<2 pi


F(t) limitata --> F(2pi)=0 --> F periodica

e
F periodica -> F(2pi)=0 --> F limitata poichè l'integrale di una funziona periodica in un compatto è necessariamente limitato

da cui la tesi

Answer 2

per ogni T di R si ha che T = 2kpi + t con 0<=t<2 pi
F(T) = F(2kpi + t) =
(per la periodicità di f)
F(2kpi) + F(t) =
(sempre per la periodicità di f
k F(2pi) + F(t)

Ora consideriamo il valore di F(2pi)
Se è > 0 si avrà che F(t) tende a + infinito per t che tende a +infinito, e viceversa a - infinito per t che tende a - infinito
All'opposto se F(2pi) < 0 tenderà all'infinito opposto rispetto a t.
Se invece F(2pi) = 0 si ha che F è periodica essendo
F(T) = F(t) ove T = 2kpi + t con 0<=t<2 pi

F(t) limitata --> F(2pi)=0 --> F periodica
e
F periodica -> F(2pi)=0 --> F limitata poichè l'integrale di una funziona periodica in un compatto è necessariamente limitata
ciao dari