J'ai démontré sur base de quelques propriétés de géométrie analytique et moyennant quelques simplifications trigonométriques que la relation entre la valeur de l'angle A (sous sa forme a + 2.k.pi) et le temps T (exprimé en heure : exemple 17h6min36sec s'écrira 17,101) est une fonction linéaire et s'écrit :
A = C.T
où C est une constante dont je garde jalousement la valeur pour l'instant. Mais si vous m'envoyez un mail, je vous l'enverrai avec plaisir.
Pour résoudre le fameux problème de l'heure qui casse la tête aux apprentis de la trigonométrie, il suffit de transformer le temps donné en heure, le multiplier par C et réduire l'ange obtenu en soustrayant le plus grand multiple de 2.k.pi qu'il contient et vous tenez l'angle formé par les aiguilles d'heure et de minute...
Grâce à cette formule j'ai résolu la moitié de mon examen en terminale en 5 minutes au lieu de la demi-heure que prends généralement la question.
Qu'en pensez-vous ?
2007-01-17 23:39:31 · 10 réponses · demandé par nassisco 4 dans Sciences et mathématiques ➔ Mathématiques
Simplepast, je suis vraiment désolé pour toi, mais grâce à cette formule j'ai obtenu 19/20 à un examen de trigo où mon suivant ramait à 12/20 et aujourd'hui 6 ans après je termine un Master Recherche en Informatique. Rien que pour toi, je publie ma constante C=330. Fais le test, prend n'importe quelle heure, fais le calcul, réduit l'angle comme je t'ai dit et regarde sur le cadrant de ta montre ce que ça donne ... L'expérience est parfois un moyen simple de vérification pour les esprits détestant la belle complexité de l'abstraction !
2007-01-18 00:03:23 · update #1
Remplacez pi par sa valeur en degré, c'est à dire 180° et vous verrez s'éclaircir tous vos problèmes ! De plus, pour mon ami qui parle de 18h, la petite aiguille est sur 6 et la grande sur 12, il y a bien 180° degrés entre les deux aiguilles autrement dit pi !
J
2007-01-18 03:50:04 · update #2
jojoletout, cette formule je l'ai proposée lorsque j'étais en terminale. Et à 6h30 l'angle n'est pas nul car la grande aiguille est bien sur 6 mais la petite est exactement entre 6 et 7, tu devrais regarder sur ton horloge...
2007-01-18 03:52:25 · update #3
Je fais mon mea culpa, car j'aurai dû préciser que tout dans la formule doit être pris en degré, et au lieu de 2.k.pi vous préciser que c'est en fait k.360°, mais ça ne change pas le fond...
2007-01-18 03:56:07 · update #4
La petite aiguille avance à une vitesse angulaire de 360 degrés / 12 heures, soit 30 degrés / heure et la grande à une vitesse angulaire de 360 degrés / heure.
La différence des deux est de (360 - 30) = 330 degrés/heure.
Donc l'angle creusé entre les aiguilles entre deux instants, divisé par le temps passé entre ces instants est égal à une constante, ou autrement dit pour les initiés qui ont été en terminale, l'angle varie linéairement avec le temps.
Mais bon c'est vrai que si on n'est pas en Master c'est pas évident de faire ce type de raisonnement, qui met typiquement en valeur la beauté de l'abstraction.
2007-01-18 01:10:17 · answer #1 · answered by arnaud m. 3 · 1⤊ 0⤋
Il est logique que ce soit linéaire puisqu'une aiguille progresse 60x plus vite que l'autre (= dérivée constante).
Supposons que le repère zéro soit midi (ce qui n'est pas le cas en trigo mais simplifie l'exemple), et qu'on décide que les minutes ne reviennent pas à zéro à chaque fois qu'elles repassent à midi, on peut poser le problème.
a := angle des aiguilles entre elles
am := angle des minutes par rapport à midi
ah := angle des heures par rapport à midi
On pose : a = am - ah
et comme : am = 60ah ou ah = am/60
on a : a = am - am/60 = 59am/60
Pour exprimer cet angle en fonction du temps, avec t en heure :
am = t x pi
a = 59/60.t.pi
Rien de très compliqué en fait. Si a dépasse pi/2 il faut prendre le reste de la division par pi/2 pour avoir l'angle réel sur le cadran. Mais du fait de l'opération modulo qui n'est ni linéaire ni sinusoïdale on n'aura rien de régulier en sortant de ça.
a(t) = 59/60.t.pi mod pi/2
A priori une fonction en "dents de scie" donc.
Et je trouve pas le 330 et je vois pas d'où il sort...
PS : que tu aies eu 19 ne signifie par forcément que ça soit juste. :-p
2007-01-18 08:51:52 · answer #2 · answered by bigjim 6 · 1⤊ 0⤋
Désolé c'est faux ce que tu dis, je me doute bien que tu ne placera pas ma rponse en meilleure réponse, sauf si on te rend ta copie de math sous 3 jours
Pour résoudre cela il faut etudier les 2 fonctions qui sont elles linééaires sur tout le tour , l'angle entre l'aiguille des minutes et une droite fixe, par exemple la verticale, puis la meme chose pour l'aiguilles des heures.
Tu fais la différence et tu verras qu'elle augmmente puis diminues ce sera une sinusoide qui varie sinusoidalement.
I l n'ya donc pas un lien de type angle = constante * temps => désolé!!!!
2007-01-18 07:59:13 · answer #3 · answered by simplePast 2 · 1⤊ 0⤋
helas tu viens de decouvrir une relation connue depuis longtemps desole pr toi. bien sur cette relation n'est pas que si on parle d'angle algebrique et non geometrique (ds ce cas on aurait une fonction periodique dc obligatoirement non lineaire...)
c'est en fait assez evident si on a fait un peu de maths...
aiguille des minutes, l'angle par rapport a 0 vaut
a1= 360*t
aiguille des heures l'angle vaut
a2=360*t/12
dc angle entre les aiguille
A=a1-a2=330t
la cste vaut bien 330 si on exprime l'angle en degre, 11pi/6 si on parle de radian.
2007-01-18 11:53:43 · answer #4 · answered by ibon 3 · 0⤊ 0⤋
Pour un temps de 6h30 soit 6,5 h, j'ai un angle nul, non ?!!
ça pose un problème, avec une fonction linéaire qui devrait s'annulée une unique fois si je ne me trompe....
Bon faut dire que je n'ai pas fait de Master mais quand même ????
2007-01-18 09:43:08 · answer #5 · answered by jojoletourteau 2 · 0⤊ 0⤋
Desole mais ceprobleme est d'une simplicite deroutante (meme pour un probleme de terminale)
Pas de quoi pavoiser.
2007-01-18 09:03:51 · answer #6 · answered by Genus Rosa 2 · 0⤊ 0⤋
si je suis ton resonnement 18h (Pi radian ou 180° à trouver)
330*18 modulo (2Pi)=2.38988..... c'est pas vraiment egale à Pi........
Ta constante est peut etre fausse
2007-01-18 08:29:43 · answer #7 · answered by Docteur Space 3 · 0⤊ 0⤋
J'ai rien compris! Mais bravo!
2007-01-18 07:56:16 · answer #8 · answered by KD 6 · 0⤊ 0⤋
J'en pense que si tu ne publies pas la constante dans les 5 minutes, c'est moi qui le fais. Bien vu quand même!
P.S. Simplepass n'a pas tort. Il y a juste le problème de la définition d'un angle. Simplepass pense à la définition classique de l'angle géométrique qui est un nombre compris entre 0 et 180 ou 0 et pi suivant l'unité. Nassisco pense plutôt à la définition algébrique tenant compte de l'ordre des aiguilles. Dans ce cas l'angle entre la verticale montante et la direction de la petite aiguille est bien - 30 fois T exprimé en heures, le signe - venant de la différence traditionnelle d'orientation entre les géomètres et les horlogers. Pour la grande aiguille ça va 12 fois plus vite d'où 360 et par différence la constante dite " de Nassisco"...
2007-01-18 07:46:56 · answer #9 · answered by gianlino 7 · 0⤊ 0⤋
Non je ne crois pas! En matière d'angle il n'y a rien de linéaire. C'est pas possible!
2007-01-18 08:18:25 · answer #10 · answered by Anselmo 2 · 0⤊ 1⤋