Mathematiques financieres?

Question

Svp aidez-moi, je dois rendre un dossier de maths et comprend po ces 2 problemes!!! si vous comprenez un des 2 ou les 2 problèmes svp repondez moi vite merci!^^

1) On investit de l argent à un taux d interet composé continu. Si un investissement initial de 1000 francs passe à 1200 francs en 5 ans calculer
a)le temps necessaire pour doubler l investissement
b)le taux d'interet annuel effectif

2) Pour construire une maison, un particulier contracte un emprunt hypothecaire de 600000 francs, remboursables dans 30 ans, au taux d interet annuel de 6%
a) Il veut rembourser cette dette grace a des versements mensuels placés au taux annuel de 4%. Calculer le montant de ces versements.
b)Calculer la somme totale des interets payés sur cet emprunt
c)Calculer l emprunt hypothécaire maximum qu'il puisse obtenir si ces versements mensuels sont de 1200 fraancs, les taux d interets et la durée de l emprunt étant inchangé.

Answer 1

1) Avec un taux continu, il me semble que :
r = ln(1200/1000)/t avec t=durée=5 ans
Donc r=ln(1200/1000)/5=3,65% environ

De plus le temps pour doubler la mise est :
durée = ln(2)/[ln(1200/1000)/5]=19 (à quelques infimes décimales près)
La réponse à la question a est donc 19 ans, et la réponse à la question b est 3,65%

L'idée est qu'avec un taux continu facteur d'actualisation est égal à exp(-r*t) où r est le taux et t la durée.


2) a) Je suppose que le prêt est remboursé au bout des 30 ans intérêts compris : montant à rembourser = 600K€*exp(6%*30)

L'agent capitalisé est :
x *(exp(4%*30*12/12)+exp(4%*(30*12-1)/12)+...+exp(4%/12)+1)

= x *(1-exp((30*12+1)*4%/12))/(1-exp(4%/12))

(suite géométrique de raison exp(4%/12) sur 30 ans)
donc x=600K€*exp(6%*30)/[(1-exp((30*12+1)*4%/12))
/(1-exp(4%/12)))]
x=5198,8 = 5200 € environ à rembourser chaque mois.
En fait c'est beaucoup plus simple en temps discret et avec un tableur...

b) Beaucoup plus simple : les intérêts sont :
[exp(6%*30)-1]*600K€ = 3 029 788 € !! (logique j'ai fait l'hypothèse que les intérêts sont payés à la fin donc ils sont très importants).

c) Question a prise en sens inverse :
montant = 1200 * [(1-exp((30*12+1)*4%/12))/(1-exp(4%/12)))]
/ exp(30*6%)
montant = 138 493,2€ soit beaucoup moins que les 600K€ (logique)

Seule question ai-je bien compris le problème ?
=> est-on en temps discret ou continu ?
=> les intérêts sont-ils payés à l'échéance comme j'en ait fait l'hypothèse ?

Answer 2

pour répondre remplacer les francs par des EUROS !!!