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Question

cos'è il resto di Peano? Come lo calcolo?

Answer 1

se consideri una serie, cioè la somma dei termini di una successione, che sono infiniti, in pratica puoi solo calcolare la somma parziale dei primi n termini, detta anche ridotta n-ma. Poi si può calcolare il limite della ridotta n-ma. Ma se ci si limita alla somma parziale, restano fuori tutti gli infiniti termini della serie, a partire da quello di posto n+1.

Se la serie è di Taylor ( o di MacLaurin), allora si chiama resto della serie la somma dei rimanenti termini, a partire del termine di posto (n+1).

Questo resto può avere varie espressioni; una di queste è quella detta "resto di Peano"

(x - x°)t(x)

con x° punto nel quale si sviluppa la serie

Rappresenta l'errore che si commette sostituendo la ridotta n-ma alla serie.

Per scrivere bene la formula bisognerebbe avere un software adeguato.
Trovi la formula per bene in qualsiasi testo di analisi matematica, che tratti delle serie di funzioni.

Answer 2

Data f(x), detto Pn(x) il polinomio di Taylor di grado n si ha che

f(x)= Pn(x0)+
Derivata n-ma di f calcolata in un punto c * (x-x0)^n / n!

ok?
Bene, quest'ultimo termine è detto resto di peano, è un infinitesimo dello stesso ordine di (x-x0)^n ed è banalmente uguale a
f(x) - Pn(x0)

P.S.
Sempre che tu possa calcolare f(x) per altre vie, è ovvio!