Pourquoi deux droites parallèles peuvent-elles se rencontrer dans les géométries non-euclidiennes?

Answer 1

Je crois que ta question est mal posée! et donc nécessairement si chacun tente d'y répondre la réponse ne pourra qu'être erronée!
Il est vrai que le chemin le plus court entre deux points est une géodésique et dans le cas de l'espace euclidien muni de la métrique naturelle, c'est bien sur une droite (straight line en anglais). Cependant cela ne veut pas dire qu'il faut considérer les géodésiques pour des droites. Il est toujours possible de mettre une structure d'espace vectoriel sur une droite, mais pas nécessairement sur une géodésique.
Donc a moins que tu ne dises ce que tu entends vraiment par "droite" et par "parallélisme" en géométrie non euclidienne, je ne crois pas que tu auras une réponse satisfaisante a ta question.

A moins d'adopter pour définition de droite, ce qui parrait plus ou moins raisonnable, celle de géodésique; tu ne peux pas démontrer ce que tu affirme car l'espace euclidien R^n peut bien être muni d'une métrique différente de la métrique euclidienne et pour laquelle les géodésiques ne sont pas des droites (i.e. les ensembles de points de la formes

{x+ay| x, y dans R^n et a dans R}
);

pourtant les droites vont continuer d'exister et les parallèles demeureront aussi parallèles (i.e. qu'il y aura toujours une translation transformant l'une des droites en l'autre).

Supposons que tu voulais parler de géodésique et non de droite; dans ce cas la réponse de "JVR" est plus que satisfaisante; puisqu'il existe toujours une translation entre deux méridiens (qui sont des géodésiques et non des droites) et qui laisse les deux pôles invariants!

Du point de vu de la géométrie algébrique la question ne se pose pas, cf. "jojolapin..."

Answer 2

Un des postulats de la géométrie euclidienne c'est que deux droites parallèles ne peuvent pas se rencontrer

et on appelle géométrie non euclidienne une géométrie qui ne respecte pas au moins un des postulats de la géométrie euclidienne..

Answer 3

Sur la Terre (géométrie sphérique, non euclidienne), on appelle "droite" les grands cercles. ( on parle plutôt de géodésique, comme déjà dit plus haut )

Prenons par exemple deux méridiens : ils sont parallèles au sens où ils sont tous les deux perpendiculaires à la "droite" équateur, et pourtant ils se coupent en 2 points (pole nord et pole sud).

Answer 4

Faisons simple.

Prends par exemple un ballon et deux ficelles. Tu fixes les ficelles d'un bout à l'autre du ballon. Les deux ficelles sont parallèles et pourtant, elles se coupent là ou tu les as attaché... Etrange non ?

Answer 5

Ta question est mal posée

Attention si tu travailles dans un plan projectif (plan classique auquel on a rajouté une droite dite droite à l'infini)
Bilan : deux droites se coupent toujours
Tu ne te poses plus de question de savoir si les droites sont parallèles ou pas: ELLES SE COUPENT.
si le point est sur la droite à l'infini----> parallèle classique
si le point n'est pas sur cette droite ----> sécante classique

Dans ce plan projectif les ellipse, parabole, et hyperbole sont des ellipses
L'ellipse est situé par rapport à cette droite à l'infini.
Si tangente à la droite à l'infini ----> parabole classique
Si coupe en deux points cette droite --->hyperbole classique
Si aucun point commun à cette droite ----> ellipse classique

Answer 6

L'axiome d' Euclide qui dit que "par un point extérieur à une droite, il ne peut passer qu'une parallèle à cette droite" n'a jamais pu être démontré. il est pourtant le fondement de la géométrie.
Par conséquent, des mathématiciens ont dit puisqu'il ne peux pas être démontré, on va poser l'affirmation inverse et ils ont inventé les géométrie non euclidiennes

Answer 7

Tout simplement car c'est ça qui fait la différence entre une géométrie euclidienne et une géométrie non-euclidienne...

Idem pour le nombre de droite parallèle à une droite donnée passant par un point : géométrie euclidienne = 1 seule, géométrie non-euclidienne = 1 infinité

Answer 8

Parce que les droites paralleles des livres de math de classe posent que PAR DEFINITION, les droites paralleles sont des droites n'ayant aucun point commun

Dans la géométrie non Euclidienne, justement, l'espace volumique est pris en compte et, en gros, comme tout est fini dans un espace volumique, il peut bien entendu y avoir des points en commun aux droites, quelles qu'elles soient

et d'ailleurs, les droites n'en sont pas, au sens vectoriel

ça te choque ?

Answer 9

Parce que c'est un axiome, enfin sa contraposée.
Ce que du formalisme, c'est parce que tu décides que deux droites parallèles (avec une définition par des vecteurs colinéaires)ne peuvent se rencontrer parce que cela est plus pratique pour modéliser les objets que tu manipules.
Mais si tu veux considérer des parties comme un tout (par exemple des objets dans un même programme informatique) tu es obligé de considérer des objets qui peuvent être parallèles et qui peuvent néanmoins se confondre.

Answer 10

I don't know!