calculer la d'rivée de Ln(Ln(.....Lnx))...).?

Answer 1

Bon ca se montre très facilement par récurrence ( même immédiate cette récurrence) par contre c'est vraiment pas facile à écrire ici...

Si tu compose n fois ta fonction ln, la dérivée est
1 / ( x * ln (x) * ln( ln(x)) * ln (ln (ln(x))) * ... * ln(ln(...(ln(x))...)) )
où le dernier facteur compte n-1 fois la composition de ln.

J'espère que c'est lisible...


@ Genus Rosa : bien sur que si que cette fonction est bien définie. Le nombre de composition de ln est FINI et FIXE, on ne le fait pas tendre vers + l'infini.
D'accord que si on fait tendre ce nombre de compositions vers +oo la fonction ne sera plus définie, mais à x fixé, il existera toujours un intervalle du type [A, +oo[ sur lequel la fonction est définie et dérivable. Donc il n'y a aucun problème à exprimer cette dérivée.

Ton raisonnement est absurde. Meme si cet ensemble de définition se restreint à chaque composition, ce n'est pas parce qu'il tend vers l'ensemble vide que aucune des fonctions n'est définie. Tu fais une grosse erreur entre n fixé et n~>+oo.

Answer 2

Cette fonction n'existe pas. Pour vous en convaincre voici une courte démonstration en considérant les domaines de définitions des fonctions successives ln(x), ln(ln(x), etc...
ln(x) n'est définie que pour x positif et elle n'est positive que pour x supérieur a 1.
En découle que ln(ln(x)) n'est définie que pour x supérieur a 1, elle n'est positive que pour ln(x)>1, ou encore x>e=2.72
ln(ln(ln(x)) n'est donc définie que pour x>e et n'est positive que pour ln(ln(x))>1, ou encore x>e^e=14.9
Et ainsi de suite la borne inférieure du domaine de définition augmente de façon extrêmement rapide et tend vers l'infini.
Votre fonction n'est donc pas définie.

Answer 3

Pour toutes fonctions f et g dérivables, on a:
(f(g(x))'=g'(x)*f'(g(x))

--(ln x)' = 1/x

--(ln(lnx))' = (1/x)*(1/lnx) = 1/(x*lnx)
ici, f=lnx et g=lnx

--(ln(ln(lnx)))'=(1/x)*(1/lnx*ln(lnx)) = 1/(x*lnx*ln(ln(x)))
ici, f=ln(lnx) et g=lnx

--(ln(ln(ln(lnx))))'= (1/x)*(1/lnx*(ln(lnx))*ln(ln(lnx))) = 1/(x*lnx*(ln(lnx))*ln(ln(lnx)))
ici, f=ln(ln(lnx)) et g=lnx
--....
--....
--(ln(ln(...(lnx))...(composée de n ln))' = 1/(x*lnx*ln(lnx)*...*(ln(ln(...lnx))... (composée de n-1 ln)))

Answer 4

fn'(x) = 1/ [ x f1(x) f2(x) ... fn-1(x)]

en posant fn(x) = Ln(Ln(..Lnx))..) avec n "Ln"

Answer 5

utilise la récurrence,,,,, et puis
qlq soit x :
ln(ln(ln(....ln(x))....) ~> 0 qui est donc l'axe des x
la dérive donne la pente de la tangente
pour la pente de l'axe des x c'est 0
donc ta dérive sans la calculer va être infiniment petite

Answer 6

(Lnx)'=1/x
(Ln(Lnx))'=1/(xLnx);
(Ln(Ln(Lnx)))'=1/(xLn(Lnx))
.
.
.
.
.donc la dirivée nième est 1/(xln(ln(ln.....(lnx))..)(n-1 fois)