i^i est il positif ou négatif?

Question

si on suppose qu'il existe, i^i , c'est à dire i (le complexe tel que i^2=-1) à la puissance i est-il un réel positif ou négatif?

Answer 1

i^i=exp(-pi/2) positif

a^b=exp(bln(a))
i^i=exp(iln(i))
reste à trouver ln(i) qui est iPi/2

Mais attention !

Normalement tu n'as pas le droit d'élever aussi facilement à une puissance complexe, car tu perds les belles propriétés (de morphisme) dans C. Ca vient principalement du fait que ln(ab) n'est pas égal à ln(a)+ln(b).

Answer 2

i = 0 + i*1 = cos (pi/2) + i*sin (pi/2) = exp(i*pi/2)
donc i^i = i^(exp(i*pi/2))
donc i^i = exp(i*ln (exp(i*pi/2))) = exp(i*(i*pi/2)) = exp (-pi/2) > 0

Answer 3

Dans le corps des nombres complexes, la notion d'ordre n'existe pas, on ne peut donc pas dire si un complexe est plus petit ou plus grand que 0 !

Answer 4

i^i =e^(i*ln(i)) or i=e^(i*PI/2)
donc sous certaine condition du ln complexe
i^i =e^(i*ln(i)) =e^(i*ln(e^(i*PI/2)))=e^(i**i*PI)=e^(-PI/2)>0

Answer 5

Premierement ce n'est pas un réel mais comme tu l'as dit un nombre complexe. Les réels appartiennent au domaine des complexes mais l'inverse n'est pas réciproque et la réponse à ta question est :

çà dépend le signe devant ! mdr

Answer 6

un peu trop curieux ta question, mais essayons d'improviser une reponse a 2 balles.

Données: i^2=i*i=-1
Demonstration:
i^i=racine ((i^i) ^2)=racine(i^2i)=racine((i^2)^i)=racine(-1^i)=-1^(i/2)

i^i=-1^(i/2) on simplifie les puissances..

i^(i/2)=-1
on eleve au carre
i^i =1


donc i^i est positif

Answer 7

La définition de positif ou négatif n'est valable que pour les nombres réels. Toutefois i^i est complexe. Donc ta question n'a pas de sens!!!