Kann mir jemand bei Mathe helfen?

Question

Liebe leute, ich hake hier total. Brauche dringend die 1. und 2. Ableitung von
ft(x)= 1∕6t ∙ (x-t)² ∙ (x+t)²

Ihr könnt mir auch ne mail schreiben! Falls sich jemand da dran traut, ein RIESEN Dankeschön!

Answer 1

Steht das t im Vorfaktor im Zähler oder Nenner des Bruchs?!

Aber egal, wo das t steht, man kann den Vorfaktor einfach durchschleifen, wobei die Position des t letztlich egal ist.

Um nicht alles ausmultiplizieren zu müssen (was auch eine Möglichkeit wäre), kann man mit der Produktregel arbeiten...

f(x) = g(x) * h(x) --> f' = g'*h + g*h'

hier:

g(x)=(x-t)^2 --> g'(x) = 2*(x-t)
h(x)=(x+t)^2 --> h'(x)=2*(x+t)

und somit wird das ft(x) wie folgt abgeleitet:

ft'(x) = 1/6t * {2*(x-t) * (x+t)^2 + 2*(x+t) * (x-t)^2}

den Faktor 2 ziehe ich aus der geschweiften Klammer und fasse ihn mit dem Vorfaktor zu 1/3t zusammen...

ferner weisen beide Summanden in der Klammer ein Produkt aus (x-t)(x+t) auf, auf das ich die 3. binom. Formel ansetze

ft'(x) = 1/3t * {(x^2-t^2) * (x+t) + (x^2-t^2) * (x-t)}

ft'(x) = 1/3t * {(x^2-t^2) * 2x}

ft'(x) = 2/3t * (x^3-t^2 * x)

und falls ich mich bisher nicht verrechnet habe, dann ist die 2. Ableitung dann ...

ft''(x) = 2/3t * (3x^2 - t^2)

@another_nick
das mit dem "Was auf den ersten Blick zu sehen ist alle die nicht mindests x^4 drin stehen haben müssen falsch liegen." ist leider selbst falsch! Gefragt ist nach der 1. und 2. ABLEITUNG einer Funktion 4. Grades - also sollte doch wohl eher eine Funktion 3. Grades für die 1. Ableitung, resp. 2. Grades für die 2. Ableitung herauskommen, oder?

@mannvonlamancha
abgesehen vom Faktor 2, den Du nach der Kettenregel hast und dann in der Vereinfachung unterschlägst, richtig!

Answer 2

Ich vermute mal, 6t ∙ (x-t)² ∙ (x+t)² steht komplett im Nenner. Darüberhinaus vermute ich, das ganze soll nach x abgeleitet werden.
Zu diesem Zweck leiten wir nach der Produktregel erst den Nenner ab:
[6t ∙ (x-t)² ∙ (x+t)²]' = 6t * [2(x-t) * (x+t)² + (x-t)² * 2(x-t)] =
12t * (x-t) * (x+t) * [(x+t)+(x-t)] = 24t * (x-t) * (x+t) * x

Gesucht war aber die Ableitung von 1 / [6t ∙ (x-t)² ∙ (x+t)²]. Dazu brauchen wir die Kettenregel (äußere mal innere Ableitung). Die Ableitung von 1/y nach y (äußere Ableitung) ist -1/y². Setzen wir für y unseren Nenner 6t ∙ (x-t)² ∙ (x+t)² ein und multiplizieren das mit der schon berechneten Ableitung des Nenners (innere Ableitung) erhalten wir die Lösung:

[1/ [6t ∙ (x-t)² ∙ (x+t)²]]' =
- [24t * (x-t) * (x+t) * x] / [36t² ∙ (x-t)^4 ∙ (x+t)^4] =
24/36t * x * 1/(x-t)³ * 1/(x+t)³ =
2x / [ 3t * (x-t)³ * (x+t)³ ]

Answer 3

Mithilfe der Produktregel lässt sich die Funktion

f_t (x) = 1/6 * t * (x-t)^2 * (x+t)^2

ableiten zu

f_t' (x) = 1/6 * t * 2 * (x-t) * (x+t)^2 + 1/6 * t * (x-t)^2 * 2 * (x+t)

Dabei habe ich beim Ableiten von (x-t)^2 bzw. (x+t)^2 die Kettenregel verwendet. Dieser Ausdruck lässt sich durch Ausklammern vereinfachen zu

f_t' (x) = 1/6 * t * (x-t) * (x+t) * ( x+t+x-t)
= 1/6 * t * (x-t)*(x+t)*(2x)
= 1/3 * t * x * (x^2 - t^2)
= 1/3*t*x^3 - 1/3*t^3*x

Dabei hab ich im vorletzten Schritt die 3. binomsiche Formel verwendet. Durch Ableiten erhält man

f_t'' (x) = t*x^2 - 1/3*t^3

Answer 4

Was auf den ersten Blick zu sehen ist alle die nicht mindests x^4 drin stehen haben müssen falsch liegen.
ft(x)= 1/6t · (x-t)² · (x+t)²
ft(x)= 1/6t · (x²-2tx+t²)(x²+2tx+t²)
ft(x)= 1/6t · (x²-2tx+t²)x²+(x²-2tx+t²)2tx+(x²-2tx+t²)t²
ft(x)= 1/6t · (x²-2tx+t²)x²+(x²-2tx+t²)2tx+(x²-2tx+t²)t²
ft(x)= 1/6t · (x^4-2tx³+t²x²)+(2tx³-(2tx)²+2t³x)+(t²x²-2t³x+t^4)
ft(x)= 1/6t · x^4 - 2tx³ +2tx³ -2t²x²+x+t²x²+t²x² - 2t³x+2t³+t^4
Viel spass beim verienfachen;-)

Answer 5

schau mal da

Answer 6

Hi !!!!
ich bin jetzt in der 8. , auch ganz gut in Mathe, aber so etwas hatten wir noch nicht !!!!!!
naja, ich probier´s trotzdem mal !!!!!
Also:

ft(x) = 1/6t * (x-t)^2 * (x+t)^2
da nimmst du die erste und zweite binomische Formel:
ft(x) = 1/6t * (x^2 - 2xt + t^2) * (x^2 + 2xt + t^2)
dann ausmultiplizieren:
ft(x) = 1/6t * (x^4 - 2x^2t^2 + t^4)
dann wieder ausmultiplizieren:
ft(x) = t^5/6 - t^3x^2/3 + tx^4/6

Und das wars !!!!!! (okay, DAS WARS ist nicht der richtige Ausdruck dafür, aber ich hoffe, du hast es verstanden !!!!!)
vg kati !!!! ;))

Answer 7

Ich bin mir nicht hundert pro. sicher aber ich versuchs mal:

ft(x)= 1∕6t ∙ (x-t)² ∙ (x+t)²
((1/6t)-t)² . ((1/6t)+t)²


und da ich nicht weiß was t ist kann ich nicht weiter. ich hoffe es hilft dir.

Answer 8

ft(x)= 1/6 t * x² - 2xt + t² * x²+2xt+t²

ft(x)= 2x²+ t² * 1/6 t


*g*