Un casste-tete géometrique! Aidez- moi SVP !?

Question

On a un triangle equilateral de coté "a"
Une droite passe par les milieux de deux cotes de ce triangle et forment un petit triangle en haut...
Le petit triangle est reproduis de facon que son sommet est le milieu de la base du premier triangle.
on trace une droite qui passe par les milieux de deux cotes du petit triangle de facon qu'un minuscule triangle est formee en haut ^^
Ce minuslue triangle est reproduis ...

Et ainsi de suite "n" fois

La question est:
Calculer la surface totale des triangles selon "a" et "n"

Merci de m'aider :o)

Answer 1

Si je suis bien la construction, on a des triangles à chaque fois 2 fois plus petits, donc de surface 1/4^n x la surface du premier qui est a^2 sqrt{3} / 4. Comme on ne prend pas le premier triangle dans la somme le résultat va donner a^2 sqrt{3} / 4 fois (1/4 + 1/16 +....+ 1/4^n) soit a^2 sqrt{3} / 16 fois (1 - 4^{-n})/(1-4^{-1})=
a^2 sqrt{3} / 12 fois (1 - 4^{-n}). A la limite on aura le tiers de la surface du triangle initial.

Answer 2

Chaque "petit" triangleest tel que son aire est 1/4 de la aurface du grand " triangle précédent. _____
Triangle de départ aire (a^2V 3 )/4 on la note "b"

première manip
1er petit trianggle 1/4xb
2ième manip 2ième petit triangle (1/4)x(1/4)b
soit (1/4)^2xb
on a une suite géométrique de raison 1/4
Le terme de rang n est (1/4)^nxb
En utilisant le fait que la suite est convergente....
Le terme de rang n tend vers......
En utilisant la relation qui donne la somme des termes d'une suite tu trouveras la solution.Cherche un peu.C'est pas très difficile. Bon courage

Answer 3

surface totale des triangles est formee en haut son sommet est le milieu de la base

Answer 4

au départ c-a-d n=0 So=Hauteur d un triangle equilatéral fois base/2 c-a-d
So= ((racine de 3)xa/2)x (a/2)=((racine de 3)xa^2)/4
Si à l'étape n la longueur de chaque coté est b car chaque fois on obtient un triangle equilatéral est b de surface tu remplace a par b
a l'étape n+1 on a base/2 = racine (3) b/2
donc Sn+1= racine(3)xb^2/16
donc Sn+1=Snx1/4
(qd il ya un rapport 1/2 dans les longueurs il y a un rapport 1/4 dans les surfaces)
Et tu fais la somme des termes d'une suite géométrique de raison 1/4 de premier terme U1=racine (3) x a^2/4
donc somme de k=1 à k=n de
racine(3)xa^2 (1/4^k)=
racine(3)xa^2 (1/4 - 1/4^n+1)/(3/4)
Peut etre calcul fait en fin de soiré aprés .des ......
à ++++

Answer 5

Sk est la kième surface générée.
on a :
S1=((a^2)*sqrt(3))/4 (première surface: le premier triangle de coté a)
S2=((((a/2)^2)*sqrt(3))/4)*2 (multiplié par 2 car en reproduisant le triangle en bas on génère 2 fois la meme surface. les 2 triangles de coté a/2)
ainsi de suite jusqu'à l'ordre n (les 2 triangles de coté a/2^n-1
Sn=(((a/(2^(n-1)))^2)*sqrt(3))/2

remarquons que pour n>=2 on a
Sn+1/Sn =1/4. on a donc affaire a une suite géométrique de raison 1/4. la somme a partir de l'ordre 2 est donnée par
Tn=S2*(1-(1/4)^n-1)*4/3 à quoi il faut ajoutée la surface du triangle initiale non dédoublée. à la limite quand n est infini on la surface total T donnée par:
T=S1+(4/3)*S2
bon courage!!

Answer 6

Surface du triangle de coté a :
a^2 x sin 60 x cos 60.

Surface du premier petit triangle :
surface du triangle de coté a / 4

Surface du n ième petit triangle :
surface du triangle de coté a / 4^n