Quando una funzione (anche di variabile reale a valori complessi) si dice integrabile?

Question

Per Gaetano:
in pratica se esiste il limite dell'area dei rettangoli sottesi alla funzione per la base che tende a zero?
scusa il formalismo zero è per vedere se ho capito... :)
ciauu

ok grazie tante

Answer 1

L'integrazione che si studia alle superiori è quella di Riemann-Cauchy, che è la seguente:
<<
Consideriamo una funzione reale limitata f(x) della variabile reale x in un intervallo [a, b]. Si suddivide [a, b], in modo arbitrario, in un numero finito di intervalli , …, Ir,…, e si moltiplica la lunghezza mis(Ir) di ciascun intervallo per f(xr), il valore che f(x) assume per x = xr , con xr punto arbitrario dell'intervallo Ir.
Si considera poi la somma dei prodotti S = e se ne cerca il limite al tendere a zero del massimo degli intervalli Ir.
Se questo limite esiste finito, la funzione f(x) è detta integrabile in [a, b] ed il limite è allora chiamato integrale definito di f(x) in [a, b]
>>

Si può mostrare che alla classe delle funzioni integrabili appartengono le funzioni continue in [a,b]; la classe delle funzioni monotone (ovvero non crescenti o non decrescenti) in [a,b]; la classe delle funzioni che in [a,b] hanno al più un numero finito di punti di discontinuità. Tali classi non esauriscono ovviamente la classe delle funzioni integrabili.

Tale concetto si estende a dimensioni del dominio maggiori di uno partizionando l'intervallo n-dimensionale considerato in modo analogo


Si hai capito bene, è proprio quel limite...
che poi si può estendere anche a più dimensioni... invece dei rettangoli prendero i parallelepipedi etc.

Answer 2

Una funzione si dice integrabile quando esiste il suo integrale, e cioè quando esso non è infinito. L'infinito, infatti, non è un numero (o valore) e pertanto ciò che "varrebbe" infinito non esiste.

Answer 3

si certo anche quando e sereno a volte!!!