question de probabilité?

Question

une personne possede n clés pour ouvrir une porte ,il essai clé par
clé en eliminant les clés qui n'ouvre pas la porte.(sachant que une seule et unique clé parmi les n clés ouvre la porte).
quel est la probabilité pour que la porte s'ouvre au k-ieme essai?

JUSTIFIER VOTRE REPONSE .

Answer 1

Proba que le 1er essai soit mauvais : (n-1)/n
Proba que le 2ème essai soit mauvais : (n-2)/(n-1)
Proba que le 3ème essai soit mauvais : (n-3)/(n-2)
....
Proba que le k-1 ème essai soit mauvais : (n-k)/(n-k+1)

Proba que le kème essai soit le bon : 1/(n-k)

Or la proba cherchée est le produit de ces probas (intersection d'événements) :
P=(n-1)/n*(n-2)/(n-1)*(n-3)/(n-2)*.....*(n-k)/(n-k+1)*1/(n-k)
D'où :
P=1/n après simplifications (ne dépend pas de k).

Me trompes-je ?

La réponse de chris correspond approximativement à une proba conditionnelle :
P(que la porte s'ouvre au kème essai / qu'elle ne s'est pas ouverte avant)
La réponse d'Idouchka est intéressante => proba au dessus de 1 !!!!

Answer 2

La probabilité qu'elle s'ouvre a la kieme clé est de 1/n. C-a-d la proba que tu ouvres apres 1 2 ou n essai est la même a priori.

Par contre une autre probabilité, c'est celle d'ouvrir avec la clé k sachant que les k-1 précedentes n'étaient pas bonnes. C'est alors 1/(n-k)

Answer 3

(n-k+1)/(n-k)>1 ne convient pas...
Sachant que pas encore ouverte avant
p(pas ouverte au coup k-1)=(n-k)/(n-k+1)
Sachant que pas encore ouverte avant
p(ouverte au coup k)=1/(n-k+1)
p(ouverte au coup n)=1/1

A part cette erreur je suis d'accord qu'au total
p(ouverte enfin au coup k)=1/n

Answer 4

c'est la proba de evenement suivant:
la cle n'est pas la bonne au 1èime coup et n 'est pas la bonne au second coup ainsi de suite jusqu'au k'ième -1 coup et c la bonne au kièmè essai
donc un produit de proba
p(pas bonne clé au premier coup)=(n-1)/n (nbre cas favorable sur nombre de cas possible)

p(pas bonne au second coup)=(n-2)/(n-1) tj mème raisonnement
.
.
.
p(pas bonne au k-1 coup)= (n-(k-1))/(n-k)
.

donc un produit de proba
p(pas bonne clé au premier coup)=(n-1)/n (nbre cas favorable sur nombre de cas possible)

p(pas bonne au second coup)=(n-2)/(n-1) tj mème raisonnement
.
.
.
p(bonne au k coup)= 1/(n-k)
donc le produit
((n-1)(n-2)....(n-(k-1))/(n(n-1)(n-2)..(n-k)(n-k))
francelib.. a raison d apres mois apres simplification c 1/n

Answer 5

francelib a raison, c'est bien évidemment 1/n mais le résultat est direct et il n'est pas nécessaire d'utiliser les proba conditionnelles des k-1 essai précédents.

qu'importe ici l'ordre dans lequel on essaie les clefs, la probabilité que la clef k soit la bonne est 1/n. Cet exercice n'est pas du tout un exercice de probabilité conditionnelle et le résultat est simple à trouver.

Answer 6

c'est k
la possibilité d'ouvrir la porte à la k ième fois c k
n= k

Answer 7

c'est effectivement direct, le résultat est 1/n,
chaque évènement étant indépendant avec un autre,

c'est l'indépendance qui garantit la justification du résultat

Answer 8

il faut faire k-1 echecs suivi par une réussite.

Echouer avec la première clé : P1 = (n-1)/n
Echouer avec la seconde clé : P2 = (n-2)/(n-1)
...
echouer avec la p ème clé : Pp = (n-p)/(n-p+1) (il reste n-p+1 clés, et toutes sauf une échouent )
échouer avec la k-1 ème clé: P(k-1) = (n-k+1)/(n-k+2)

Réussir avec la k° clé : PR = 1/(n-k+1) (une seule bonne clé, n-k+1 clé restante après k-1 essais)

Proba de réussir au k° coup : (n-1)/n*(n-2)/(n-1)*...*(n-k+1)/(n-k+2) * 1/(n-k+1)

on simplifie et il reste : 1/n

On peut d'ailleurs vérifier que la somme des probas ( réussir en k coups, pour k allant de 1 à n ) fait bien 1.

je suis donc d'accord avec francelib

Answer 9

La probabilité à priori (avant les essais) est 1/n.

Ensuite, elle augmente à chaque échec, puisqu'il reste moins de clefs à tester (si on a 10 clefs, après neuf échecs, la proba pour la dernière est 1), suivant la formule donnée par Chris.
Si elle a été ouverte lors de l'essai (k-1), il n'y aura plus d'essais à faire.

Answer 10

aucune en effet on a n clefs et pas k clefs