Una pregunta de números complejos?

Question

Todo número complejo puede escribirse de la forma standar "a+bi".
Obviamente i ^ i es un número complejo. Puedes expresarlo de la forma standar.

nnvv02

i elevado a i no es -1.
i ^2= -1.
El problema es más difícil.

Answer 1

Existen varias respuestas previas que están muy orientadas.
Sin embargo, ninguna de ellas es suficientemente explícita al afirmar que el resultado de "i ^ i" NO ES un número real, sino INFINITOS números reales. Veamos por qué:
_____
Sea Z un número complejo cualquiera. Entonces:
Ln Z = Ln |Z| + i (arg Z + 2k¶) (i)
k : entero
_____
Calculemos Ln i:
Ln i = Ln |i| + i (arg i + 2k¶) = Ln 1 + i [(¶/2) + 2k¶] =
Ln i = i (¶ /2) (4k + 1) (ii)
_____
De modo que:
i ^ i = e^(i Ln i) = [de (ii)] = e^[i * i (¶ /2) (4k + 1)] =
i ^ i = e^[-(¶ /2) (4k + 1)]
_____
Claramente se advierte que dando valores a "k" obtendremos los infinitos valores reales de "i ^ i". Adjunto solo 4 valores:
k = -2 ---> i ^ i = 111,31778
k = -1 ---> i ^ i = 4,81048
k = 0 ---> i ^ i = 0,20788
k = 1 ---> i ^ i = 0,00898
...

Answer 2

i^i = e^(i ln i) = e ^(i * 0,5 * pi * i) = e^(- pi/2) = 0,207 879 576....


Explico un poco más.

e^(0,5 * pi * i)= cos (0,5* pi) + i sen(0,5* pi) = 0 + i = i.

Así pues ln i = ln e^(0,5 * pi * i) = 0,5 * pi * i

donde e es la base de los logaritmos naturales (neperianos) y ln indica logaritmo neperiano.

La curiosidad consiste en que es un número real (bueno, o complejo con componente imaginaria nula). Cosas de la matemática del plano complejo.

Answer 3

si n =0

i ^ i = i * ln(i) = i * [(pi * i ) /2] = (i ^ 2) * (pi /2)] = -1 * pi/2 =
<<< -pi/2 + 0i >>> un numero real!!!!!?
como ves?? es toy muy perdido??

Mas facil!!!!
la forma de euler de es i = e ^ (pi*i)/2 ==>>

i ^ i = i * ln [e ^ (pi*i)/2] por leyes de logaritmo y forma euler de i
= i * (pi*i)/2 por operaciones inversas
= i ^ 2 *( pi / 2)
= -1 * pi/2
= -pi/2
= -pi/2 +0*i un numero real

ahora si estoy seguro :P

saludos

Answer 4

los números complejos son aquello que tienen una parte real y una imaginaria, así como tu lo dices a+bi, pero si detallas bien, notaras que todo numero real puede escribirse como complejo solo que en este caso la b seria cero lo que en realidad no implica ni ayuda en nada; y si tienes el caso contrario también, por ello te digo que si se puede escribir así pero no tiene relevancia salvo los números sean distintos de cero.
lo que sucede con la i es que ella es la representación de una raíz cuadrada que incluye un negativo en su interior, osea i=raíz cuadrada de -1. ahora quiero que me digas quien te dijo que i^i era un numero complejo?

Answer 5

hola

que i ^ i = -1 no implica que no sea un numero complejo. Todo real es por definicion un complejo con parte imaginaria nula. Asi que i ^ i = -1 + 0 i en forma compleja standard y en cierta medida los reales son parte de los complejos.

La idea de que i ^ i sea real hace que los complejos sean cerrados y cumplan todas las otras propiedades que en algebra se llaman un "campo" y una de ellas es que las operaciones suma y multiplicacion sean cerradas, es decir que operar entre complejos produzca complejos y no elementos de otros conjuntos.

Answer 6

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Auxiliooooooooooooo!!!!
Se calgó mi compu