Un paio di limiti... tanto per sgranchirci un pochino...?

Question

Visto che le domande latitano... ne faccio una sui limiti... 10pt al + veloce
1) Lim (per x che tende a 0) di x^x
2) Lim (per x che tende a infinito) di x^(1/x)
con la dimostrazione si intende
Grazie e ciao!!

Dai ragazzi non siate pigri...
datemi i passaggi della dimostrazione....

x niccorugby
e^lnx = x . NON è = x^x
e^ln(x)/x = 1 ...perché??? che limite notevole applichi???
Nel secondo limite x tende a + infinito!!

BRAVO ALESSANDRO
Appena posso ti aggiudico la domanda!!!
Ottimo lavoro

Answer 1

1) Il limite per x che tende a 0 di x^x non esiste, se si vuole essere rigorosi; casomai, ne esiste il limite destro, in quanto la funzione è definita per x>0.
Dal momento che x^x = e^(ln x^x) = e^(x ln x), si ha:

lim(x^x, x->0+) = lim(e^(x ln x), x->0+). (*)

Si consideri, ora, il limite:

lim(x ln x, x->0+) = lim(ln x/x^-1, x->0+).

La funzione ln x è derivabile in x>0, così come la funzione x^-1, che non si annulla mai in un intorno di 0. Inoltre, entrambe le funzioni tendono a +∞ per x->0+. Se esiste il limite del rapporto delle derivate:

lim(D(ln x)/D(x^-1), x->0+) = L

allora esiste anche il limite del rapporto delle funzioni, uguale al precedente:

lim(ln x/x^-1, x->0+) = L.

Questo è il cosiddetto teorema di de l'Hôpital.

Si verifica facilmente che lim(D(ln x)/D(x^-1), x->0+) = 0, infatti:

lim(D(ln x)/D(x^-1), x->0+) = lim((1/x)/-x^-2, x->0+) = lim(-x, x->0+) = 0.

Riassumendo, è stata dimostrata l'esistenza del limite lim(x ln x, x->0+), il cui valore è 0.

Per il teorema sui limiti delle funzioni composte (applicabile in quanto esiste il limite lim(x ln x, x->0+) = 0 e la funzione esponenziale è continua in 0) si può portare il limite dentro il segno di funzione, e l'equazione (*) diventa:

lim(x^x, x->0+) = e^(lim(x ln x, x->0+)) = e^0 = 1.


2) Il calcolo del limite lim(x^(1/x), x->+∞) può essere svolto in maniera analoga al precedente.

In questo caso: x^(1/x) = e^(ln x^(1/x)) = e^((ln x)/x) .

Riguardo al rapporto delle funzioni ln x e x si può applicare il teorema di de l'Hôpital, per cui:

lim(x^(1/x), x->+∞) = lim(e^((ln x)/x), x->+∞) = e^lim((ln x)/x, x->+∞) = e^lim(1/x, x->+∞) = e^0 = 1.

Answer 2

1)passando al limite della derivata prima si ottiene x*x^x-1 che per x che tende a 0 da 0 come risultato.
2) per la secoda, per x che tende a infinito l'esponente va a 0 e quindi x^0=1

Credo

Answer 3

1) lim x--->0 di x^x = e^lnx = 1
2) lim x----> oo di x^(1/x) = e^ln(x)/x = 1

ciao

Answer 4

1) il limite è 1
2) il limite è 1

Answer 5

facile vero ma ci proviamo!
1) =1
2)= infinito

Answer 6

Gaetano....

una domanda del genere....

di venerdì.....

no dai....

stai scherzando, vero?

Answer 7

troppo complicato! ciao

Answer 8

1) 1
2) boh, forse 1 perché infinito elevato alla zero potrebbe fare uno

Ecco la dimostrazione (empirica ma efficace):
1: prendo una calcolatrice e faccio 0,0001 elevato 0,0001 e mi dà 0,9999. Quindi 1
2: prendo una calcolatrice e faccio 9999 elevato 1/9999 e mi dà 1,00001

Answer 9

no grazie,sono già fuso di mio!