Est ce que vous pouvez m'aider à résoudre cet exercice?

Question

Une ville dans un pays industrialisé a une population qui peut se modéliser pas la fonction P définie sur [0,+inf[ par :

P(t)= (6t²+20t+75) /( t² + 25)

t est le temps écoulé en années depuis le début de l'ananlyse et P(t) est la population en centaines de milliers d'habitants.

1) Déterminer à quels moments la population était de 650 000 habitants.

2) On rapelle que le rythme de croissance d'une population est dérivée par rapport au temps.

Calculer le rythme de croissance à chaque instant ou la population était de 650 000 habitants.

Answer 1

--- Pistes ---
Quelques piste si tu as le temps d'y réflechir :)

1)Il s'agit d'une résolution d'équations

* Il s'agit de trouver la valeur de t pour lesquel la fonction P prend la valeur "correspondant" à 650 000 habitants.

* Résoudre l'équation du second degré ( http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_du_second_degr%C3%A9 )

2) Il s'agit du calcul d'une dérivée ( P'(t) )

* Se ramener à un cas simple et ne pas dériver P(t) directement ( http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9riv%C3%A9e )

* Calculer les valeurs de P'(t) pour la valeur trouvé en 1, et faire éventuellement une petite conclusion des résultats

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--- Résultats et info supplémentaires ---
(pour vérifier)

1) 5 et 35 ans
=> attention P est en "centaine de milliers d'habitants. (hein Nicolas, donc P(0) = 3 ... 300 000 donc :) .

2) 0.3 et -0.012
=> P(t) est de la forme u(t)/v(t)
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--- Complet ---
(Mieux vaut apprendre à pécher que se précipiter sur le poisson fris, mais si tu as plus le temps de chercher ...)


1) tu veux connaitre les dates "t" pour laquelles P(t) = 6.5 (P est exprimé en centaine de miliers d'habitants).

Soit :
(6*t² + 20t + 75 )/ (t²+25) = 6.5
6t² + 20t + 75 = 6.5t² + 25*6.5
0.5t² - 20t + 87.5 = 0

Il s'agit d'un équation du second degré de la forme at² + bt + c = 0 :
Delta = b² - 4*ac = (-20)² - 4*0.5*87.5 = 400 - 175 = 225
Delta est strictement positif donc l'équation admet deux solutions :
t1 = (-b - racine(Delta)) / 2a = (20 - racine(225)) = 5
t2 = (-b + racine(Delta)) / 2a = (20 + racine(225)) = 35


La population était donc de 650 000 habitants 5 et 35 ans après le début de l'analyse.

2)
Le rythme de croissance est la dérivée de P(t) par rapport au temps, soit dP/dt
Or P(t) = u(t) / v(t) avec u(t) = 6t² + 20t + 75 et v(t) = t²+25
d'où :
P'(t) = ( u'(t)*v(t) - u(t)*v'(t) ) / u(t)²
P'(t) = ( (12t + 20)*(t²+25) - (6t² + 20t + 75)*2t ) / (t² + 25)²
P'(t) = ( (12t^3 + 20t² + 300t + 500) - (12 t^3 + 40t² + 150t))/ (t^4+50t²+625)
P'(t) = ( -20t² + 150t + 500) / (t^4 + 50t² + 625)

Reste à avoir la valeur chiffrée :
P'(t1) = P'(5) = 0.3
P'(t2) = P'(35) = -0.012


On remarque donc qu'après 5 ans d'analyse la population était en croissance assez important alors que 35 ans après le début de l'analyse, la population décroissait lentement.

Answer 2

soit x le prix d'un DVD, alors le prix d'un jeu video est 3x (puisque "trois fois le prix d'un DVD"). Pour la console le prix est 3x*2 puisque son prix est le double d'un jeu video (qui est le triple d'un DVD). Maintenant 2 et 3 deviennent simples. A toi de jouer. playstation : on appelle cela du français (compréhension d'un texte), et non des mathématiques.

Answer 3

Ilmir c'est une jolie démonstration... Mais lui donner la solution complète va-t-il l'aider à comprendre ce qu'il fait ?

Answer 4

Non ms franchement... réfléchis un peu tu sait le faire (j'en suis persuadé)... t'as juste la flemme de l'écrire, alors c pas moi qui vais prendre le stylo a la place pr le faire...

1) Résoudre sur R_+ l'équation P(t) = 650 000... équation du second degré... c élémentaire...

2) Calculer la valeur de P'(t) pour les valeurs de t trouvées en 1)... j'espère que tu sait dériver un polynôme et un quotient ? (rappel (u/v)'=(u'v-v'u)/v^2)

... ben voila, il n'y a qu'à écire, c un exo qui ne demande aucune réfléxion: c'est d'ailleurs la logique des nouveaux programmes de lycée depuis 1995...

Answer 5

pour le savoir, cherche à résoudre l'équation
(6t²+20t+75)/(t²+25) = 650 000
c'est à dire 649 994t²-20t+16 249 925 = 0
le discrimant de cette équation est:
D=20²-4*649 994*16 249 925
alors t = (+ou -) -20-racine carré de D divisé par 2*649 994
Or je contacte que D est un nombre négative.
Conclusion cette équation n'a pas de solution réél. Pour des population je ne pense pas qu'il faille envisager des solution imaginaires!
Je m'arrête là!!!!!!!!!!!! J'ai envi de dire que ton problème tel qu'il est posé n'a pas de solution!!!!!!!!!!!

Answer 6

o la flem ! dsl !

Answer 7

waou au début de la periode d'observation (t=0) , ils étaient que 3 dans la ville du pays industrialisé !
c'est pas une ville car ca fait moins de 2000 personnes, contradiction => cqfd par l'absurde.
sinon ben tu poses P(t) = Q(t) / R(t) avec Q et P trinomes.
puis tu poses P(t) = 650000 soit Q(t) - 650000*R(t) = 0 ceci est une equation de degré 2, tu destaise et trouve la / les racines pour la question 1
question2 : P'(t) = 0( tu utilise la dérivés d'un quotient, cf cours), ca te fera encore au final une equation de degré 2 a résoudre (si si tu verras les cubes vont se tuer)

bon courage

Answer 8

1) tu calcules les t possibles pour 650000 = (6t^2+20t+75)/etc.

(tu dois avoir quand apris à résoudre ce genre de formule)

2) tu cacule P(t-1) et tu fais le ratio P(t-1) / P(t)

plus qu'a pendre la calculette :p

Answer 9

Non.

Answer 10

pffffffffffffff ça saoule ton truc !
Va au bistro du coin, discutes, bois une bière au lieu de te casser la tête avec des conneries dans le genre, qui n'intéresse personne, et qui servent strictement à rien !
Allez viens, je t'invite !