Mas razones...?

Question

¿A qué intervalo debe pertenecer la razón de una progresión geométrica para que tres términos consecutivos de dicha progresión sean las longitudes de los lados de un triángulo?

Answer 1

Yo solo se que : 2 + 2 = 4

Answer 2

Si llamamos a tres términos consecutivos de la progresión con los nombres a,b,c y teniendo en cuenta que para que con ellos podamos formar un triángulo deben ser tales que la suma de dos cualquiera de ellos sea mayor que el restante.

(1) a + b > c
(2) a + c > b
(3) c + b > a

Si se trata de una progresión geométrica de razón R entonces:
b = a.R
c = b.R = a.R.R = a.R^2

Nota: Uso R^2 indicando R al cuadrado.

Reemplazando en las tres fórmulas anteriores:

(1)
a + a.R > a.R^2
a (1+R) > a.R^2
1+R > R^2
0 > R^2 - R - 1
R^2 - R - 1 < 0

(2)
a + a.R^2 > a.R
a (1+R^2) > a.R
1+R^2 > R
R^2 - R + 1 > 0

(3)
a.R^2 + a.R > a
a.(R^2 + R) > a
R^2 + R > 1
R^2 + R - 1 > 0


Si se resuelven las tres ecuaciones cuadráticas, y teniendo en cuenta que:
a) El resultado no puede ser negativo. No hay lados de triángulo negativo
b) El resultado no puede ser imaginario.

Nota: no resuelvo aquí las ecuaciones porque el editor no me permite una notación clara. Sólo indico los resultados válidos.

(1) produce R < (1+Raiz(5)) / 2 => R < 1.618
la segunda solución es negativa (descartada)

(2) produce dos soluciones imaginarias (descartadas)

(3) produce R > (-1 + Raiz(5)) / 2 => R > 0.618
la segunda solución es negativa (descartada)

Por lo que para que se cumpla el enunciado,
0.618 < R < 1.618

Saludos y feliz 2007

Answer 3

Conviene que refuerzos esos conceptos, aunque son muy elementales. no te digo la respuesta mejor te digo donde puedes encontrar todo lo referente a tus clases ( todas las materias )

Pag. elosiodelosantos.