Quelle est la définition de R?

Question

R: l'ensemble des réels

Answer 1

tu as plusieurs definitions.
La definition de seconde se mord la queue : ensemble des abscisses des points d'une droite, mais on peut pas faire mieux.

pour definir mieux, il faut faire a partir de ce que est deja defini sans utiliser R, c'est a dire Q.
l'objectif est de boucher les trous de Q. on sait que la diagonale d'un carré de coté 1 a une longueur egale a racine(2), mais ce n'est pas dans Q. Cependant, on peut approcher ce "nombre" par des rationnels, au moyen de la suite de rationnnels
u(n+1)=1/2 (u(n)+2/u(n))
qui tend vers ce nombre. Il est dommage qu'on ait des suites semble-t-il "convergentes" de Q qui n'aient pas de limite dans Q.
Une construction de R consiste grosso modo a creer un ensemble contenant Q et toutes les "limites" des suites de Q dont l'oscillation est nulle. Apres, on redefinit + et x sur le nouvel ensemble a partir de la definition de + et x sur Q, ainsi que <
L'ensemble R considere n'a plus de trou : des qu'une suite est "de Cauchy", c'est a dire dont l'oscillation est nulle, elle a une limite dans R. R est dit "complet".

L'interet, c'est que l'on peut approcher tous reels par des rationnels; et meme les ranger, et leur donner ainsi un statut de "nombre".

Il y a d'autres contructions possibles.

Answer 2

On peut définir de plusieurs façons l'ensemble des réels, en voici une :

On commence par créer par axiomes ( par ex. de Peano) les nombres entiers naturels. (N)
Mais comme cela donne seulement un semi-groupe, on symétrise pour obtenir l'ensemble des nombres entiers relatifs (Z), qui forment un groupe pour l'opération addition.

On définit ensuite une multiplication pour Z, mais problème : tout élément non nul de Z n'a pas forcément d'inverse (en fait seul 1 et -1 en ont un). Donc Z n'est pas un corps.

On ajoute donc tout ce qu'il faut à Z pour devenir un corps, et on obtient Q, l'ensemble des rationnels, c'est à dire l'ensemble des p/q avec p et q dans Z et Z\{0}

Je crois qu'ensuite on ne peut plus faire grand chose en n'utilisant que des propriétés algébriques.

Pour construire R, il faut passer à des propriétés analytiques :

Q n'est pas complet : toute suite de Cauchy ne converge pas forcément dans Q. (On peut par ex. créer une suite de rationnels qui tend vers Racine de 2)

Donc on complète Q pour en faire un espace complet.

Ce complété de Q, c'est R ! ( on peut dire aussi que Q est dense dans R )

L'avantage de R c'est qu'il a plein de bonnes propriétés : c'est un groupe pour + et *, un anneau, un corps, un espace complet, connexe, connexe par arcs...

Answer 3

Ah je croyais que c'etait le nom d'un mechant dans le nouveau James Bond....

Answer 4

Un nombre réel est une quantité qui a pour représentation décimale x = n + 0.d1d2d3..., où n est un entier, chaque di est un chiffre entre 0 et 9, et la séquence ne se termine pas par une infinité de 9.

Answer 5

Il faut simplement que tu saches que l'ensemble des réels sont des nombres complexes particuliers.
En effet, l'ensemble des nombres réels est inclus dans l'ensemble des nombres complexes.

C'est tout ce qu'il y a à savoir d'important.

Answer 6

Hair ? ou air ? ou Aire ?

Answer 7

bé tu le dis toi-même! c'est l'ensemble des réels!
c'est un ensemble infini qui contient entre autre N, l'ensemble des entiers.
R est inclus quand à lui dans l'ensemble des imaginaires, qui contient les réels et les imaginaires purs.

Answer 8

R c'est une lettre de l'alphabet.

Answer 9

tu veux dire Q / R......
Questions / Réponses...;

Answer 10

en mathématiques "R" est le diminutif de "rayon" quand tu parles du cercle, c'est ce que j'ai retenu de mes cours de géométrie!!