Puis-je considérer l'ensemble E des suites d'entiers pour lesquelles il existe une définition mathématique?

Question

Par exemple, la suite (Un) des nombres premiers app. E.
La suite définie par U0=1 et U(n+1)=sin(Un) app. E.

**** E existe-t-il? ******

Erratum: remplacer sin par carré

@rodgeur: les définitions mathématiques sont constituées d'une suite finie de symboles (chiffres, lettres, opérateurs, ...).Il n'en existe donc qu'une quantité dénombrable.
Or l'ensemble des suites d'entiers n'est pas dénombrable. Il existe donc un très grand nombre de suites "sans définition mathématique".

Answer 1

L'ensemble des suites entières n'est pas dénombrable (Rodgeur, tu utilises une ligne pour décrire chaque suite, tu ne peux pas déduire que l'ensemble des suites entières est dénombrable), mais il a la "puissance du continu", c'est-à-dire est en bijection avec l'ensemble des réels. En fait, peu importe tout cela. Comme l'ensemble des suites entières est un ensemble, toute partie de cet ensemble est encore un ensemble, en particulier l'ensemble des suites définies à partir des fonctions usuelles, qui semble être l'ensemble E demandé. Au passage, la suite définie par U0=1 et U(n+1)=sin(Un) n'est pas vraiment une suite d'entiers.

Answer 2

Si tu définis précisément ce que signifie "définition mathématique", c'est à dire si tu précises les symboles et règles qui rendent cette définition valide, il n'y a pas de problème. Mais chacun pourra venir enrichir ta collection et trouver un ensemble plus gros. Le problème apparaîtra si on veut prendre l'union de tous ces ensembles. On retombera alors dans les errances de l'imprécision.

Answer 3

Non, tu ne peux pas, car le terme "définition mathématique" n'est pas lui-même défini mathématiquement, c'est une définition intuitive. En règle générale, on ne peut pas définir un objet par rapport à lui-même (comme l'ensemble de tous les ensembles), ni faire une série des définitions qui bouclent sur elles-mêmes (bien tenté).

Answer 4

Connais tu vraiment des suites d'entiers pour lesquelles il n'y a pas de définition mathématique ?
Si oui, merci de me donner un exemple...

Je ne suis pas sûr de bien comprendre ta question, mais à priori il n'y a aucune raison que ton ensemble E n'existe pas.
Un ensemble de suites est tout à fait concevable, mais ta définition n'est pas claire. Que veut dire précisément "pour lesquelles il existe une définition mathématique" ?
Pour moi ton ensemble E est juste égal à l'ensemble des suites d'entiers. Ou alors je ne comprends vraiment pas ta question...


Je peux me tromper, mais il me semble que l'ensemble des suites d'entiers est dénombrable, non?
Puisque chaque terme est entier, en gros tu peux représenter toutes les suites possibles dans un tableau : sur les lignes, tu mets le n-ieme terme de ta suite, et sur les colonnes tu mets l'ensemble des entiers...
De la même facon que Q est dénombrable, il me semble que tu peux montrer que l'ensemble des suites d'entiers est dénombrable.

Si ce qui précède est vrai, dans ce cas tu peux donner une définition mathématique à chaque suite d'entiers, et donc E est égal à l'ensemble des suites d'entiers.

Merci de me faire remarquer si tu vois des fautes dans mon raisonnement, car je ne suis pas sur de moi.

Answer 5

non