El sábad alguien preguntó ¿Cual era el triángulo de área máxima inscrito en un círculo de D=10cm? A=34.8cm²

Answer 1

Coincido con el resultado aportado por "Diego", mas no con el procedimiento. Esto es así, pues su procedimiento parte de la base de aceptar que el triángulo de mayor área "debe ser (como mínimo) isósceles".
Finalmente, y al cabo del procedimiento, se demuestra que en realidad, debe ser "equilátero".

Para brindar una alternativa voy a demostrar primero que el triángulo debe ser isósceles, para luego pasar a la segunda parte de la demostración.
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Veamos la "Figura 1" del enlace: http://img247.imageshack.us/img247/1125/demo4jo1.gif
Tenemos una circunferencia de radio "R" centrada en el origen y hemos construído -a partir de una "Base" arbitraria- triángulos de diversa altura (H): uno de color "azul" y otro de color "rojo".

La superficie de un triángulo se calcula como: ½ * Base * Altura.
Observando el triángulo "azul" y como la "Base" es fija, resulta obvio que la mayor superficie se obtendrá para el triángulo de mayor altura "H": esa máxima altura -necesariamente- debe ser la representada por el triángulo "rojo".

Se concluye -entonces- que dada una línea de "Base" cualquiera, la mayor superficie de un triángulo inscripto en una circunferencia se da cuando el vértice opuesto a la línea de "Base" se ubica sobre la circunferencia de modo de establecer un triángulo isósceles.
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Ahora (y apoyándonos en la "Figura 2") vamos a entrar en la 2da. parte de la demostración. Tenemos una circunferencia descripta por la ecuación: x² + y² = R² de modo que sus ordenadas se determinan mediante:
y = ± raiz(R² - x²).

Y tenemos un triángulo isósceles (en rojo) con los siguientes parámetros:
Base = 2 raiz(R² - x²); y Altura = (R + x).

La superficie de este triángulo es:
Sup (x) = ½ Base * Altura
Sup (x) = (R + x) * raiz(R² - x²) (i)
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Como la superficie del triángulo isósceles nos ha quedado establecida en función de "x" podemos derivar esta función a fin de determinar su máximo, planteando S ' (x) = 0
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De (i): Sup ' (x) = raiz(R² - x²) - [(R + x) x] / raiz(R² - x²) --->
Sup ' (x) = (-2x² - Rx + R²) / raiz(R² - x²) (ii)
Esta función se anula cuando se anula su numerador. Es decir: -2x² - Rx + R² = 0. Aplicando la resolvente para ecuaciones de 2do. grado obtenemos dos valores de "x":
x1 = R/2
x2 = -R
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Observando la "figura 2" [ó la fórmula (i)] deducimos que para "x = -R" se obtendrá el triángulo de área mínima (área nula, de hecho). Mientras que con "x = R/2" se obtendrá el triángulo de área máxima. Entonces, y de (i):
Sup (R/2) = [R + (R/2)] * raiz[R² - (R/2)²] = 3.raiz(3).R² / 4 =
Sup (5 cm) = 32,476 cm²

resultado que coincide totalmente con el de "Diego".

COMENTARIO: Es sencillo demostrar que el triángulo así determinado es equilátero.
...

Answer 2

Para esto tienes que usar máximos y mínimos (cálculo).

1. Pones la función a maximizar: A(b,h) = bh/2

2. Como está inscrita en una circunferencia podemos hacer la función del área dependiente nada más de una variable:

Ec. circunferencia: x² +y² = r²

debe de ser que b = 2x
y h = r - y ó h = r - (r² - x²)^(1/2)

por lo tanto la función del área queda como:

A(x) = (x)(r - (r² - x²)^(1/2) = xr - x*(r² - x²)^(1/2)

3. Derviando e igualando a cero para hallar el máximo:

0 = r - (r² - x²)^(1/2) + x²*(r² - x²)^(-1/2)

r² = r*(r² - x²)^(1/2) + 2x²

r^4 - 4r²x² + 4x^4 = r^4 - r²x²

4x² = 3r² ó x = (3^(1/2)*r)/2

por lo tanto, A = (3^(1/2)*3*r²)/4 (se toma el valor negativo de la raíz, por estar y en el cuadrante negativo)

Sustituyendo con 5 cm para el área obtenemos:

A = 32.47595...cm²

No sé quién te dijo que el área es 34.8cm², pero eso es falso.

Nota: tiene razón El Cacho, en que no tome en cuenta los triángulos escalenos, pero el ya dió la demostración de por qué tienen menor área.

Answer 3

el triangilo de area maxima es el equilatero

el quilatero tiene h = 3/4 del diametro

Answer 4

???