Admettant deux diviseurs 1 et lui-même.Et est-ce que celà a une importance en pratique?
2007-01-07 23:29:35 · 18 réponses · demandé par Lupus Mortis 7 dans Sciences et mathématiques ➔ Mathématiques
bonne question. Il y a effectivement des raisons ! ca simplifie pas mal de choses
Deja, 1 n'est pas premier, il est bien exclu de la liste., ta definition est incorrecte, il faut rajouter le mot "distincts" apres "diviseurs"
1°)Un théoreme ultra important sur le nombres premiers est celui de l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.
tout nombre peut s'ecrire, de maniere UNIQUE à l'ordre pres des facteurs, comme produit de puissances de nombres premiers :
n= p1^k1 x p2^k2 x ....pi^ki ou les pi sont des nombres premiers.
si on admet 1 comme nombre premier, la decomposition n'est plus unique : on peut multiplier par 1 a une puissance quelconque.
on perd donc quelques invariants :
- le nombre de nombres premiers intervenant dans la decomposition : il vaut i ou i+1 selon que l'on compte 1.
- l'unicité de la suite (p1,k1), (p2,k2) ....la puissance relative au nombre 1 pouvant etre quelconque.
On peut s'en sortir mais ca oblige a des circonvolutions.
2) (niveau maths sup) On perd des proprietes du genre
(Z/pZ, +,*) est un corps si p et seulement si p est premier :
en effet, si p=1, Z/1Z = {0}, ce n'est pas un corps.
Dans tous les theoremes importants sur les nombres premiers, il faudrait faire un cas particulier du cas ou 1 est le nombre premier. c'est pour cela qu'on l'exclut.
les nombres premiers sont les briques elementaires qui permettent de connaitre un nombre. 1 n'apporte aucune info puisqu'il est dans tous les nombres.
2007-01-08 00:42:07 · answer #1 · answered by trash k 2 · 1⤊ 0⤋
En tant qu'élève,puis professeur, j'ai connu deux définitions des nombres premiers:
Tout d'abord "un nombre est premier s'il n'a pas d'autres diviseurs que 1 et lui-même".Dans ce cas 1 est premier (c'est ce que l'on disait quand j'étais élève)
Puis "un nombre est premier s'il a exactement deux diviseurs" (c'est ce que l'on a tendance à dire depuis quelques dizaines d'années) et dans ce cas 1 n'est pas premier
Pour tous les autres nombres entiers naturels les deux définitions sont équivalentes.Comme il s'agit de définitions,le problème vient donc du fait que le sens du mot "premier" a un peu changé avec le temps.La raison de ce changement est que certains théorèmes sont plus faciles à énoncer avec la deuxième définition (par exemple l'unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers).
D'autres mots mathématiques ont aussi vu leur sens évoluer avec le temps (par exemple on disait circonférence et cercle alors que maintemant on dit plutôt cercle et disque) .Ces changements sont fâcheux (surtout dans la période transitoire) car les mathématiques sont le domaine de la précision.Les auteurs des programmes e mathématiques n'ont pas été les derniers à changer le sens de certains mots ou de certains symboles ou abréviations...(exemples:théorème de thalès,abréviation tg ou tan,symbole à peu près égal etc...)
2007-01-08 08:25:34 · answer #2 · answered by fouchtra48 7 · 4⤊ 0⤋
ou as-tu vu qu'il avait été enlevé de la liste??
c'est impossible
2007-01-08 07:31:22 · answer #3 · answered by thenono51 3 · 4⤊ 0⤋
1 est divisible par un et par lui-même. Or il est lui-même le nombre 1 donc il n'est plus divisible que par un seul nombre et ne remplit donc pas la condition initiale CQFD.
2007-01-08 07:52:57 · answer #4 · answered by capitaine flam 2 · 3⤊ 0⤋
c'est une question de définition...
La définition usuelle demande que le nombre premier ait exactement deux diviseurs : un et lui meme...
Pour le nombre 1, il n'y en a qu'un...
D'autres définitions disent qu'un nombre premier doit être supérieur ou égal à 2...
Dans tous les cas ceci ne change pas la face du monde... C'est juste qu'il y a quelques propriétés des nombres premiers qui ne sont pas vérifiées par le nombre 1... donc comme il est à part, certains préfèrent ne pas lui accorder le statut de premier... voilà
2007-01-08 07:41:33 · answer #5 · answered by sucre en poudre 5 · 2⤊ 0⤋
Pluton a perdu son statut de planète car la définition du mot lui-même a changé.
1 a perdu son statut de nombre premier car la définition du mot lui-même a changé.
En général, ces changements vont dans le sens de la rigueur, et ne sont pas faits pour emm... le monde.
Si on avait laissé Pluton dans la famille des planètes, au lieu d'en avoir une de moins, il y en aurait une palanquée de plus, dont certaines seraient plus proches du rocher que d'un astre.
Si on avait laissé 1 dans la famille des nombres premiers, il deviendrait une exception puisqu'il aurait une infinité de diviseurs.
On trouve le même paradoxe pour 0° (zéro puissance zéro), qui vaut 1 ou 0 suivant ce que l'on veut démontrer. (voir là : http://faq.maths.free.fr/html/node26.html )
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2007-01-08 08:38:55 · answer #6 · answered by Zenith 5 · 1⤊ 0⤋
Justement, parce qu'il ne correspond PAS à la définition : un nombre qui a DEUX diviseurs (pas trois, pas un, DEUX !), lesquels sont lui-même et 1.
1 ne possède qu'un seul diviseur, c'est évident.
2007-01-08 08:22:09 · answer #7 · answered by Karaboudjan 1 · 1⤊ 0⤋
Euh, c´est écrit ou qu´il a été enlevé?! Moi on ma toujours dis que 1 était un nombre 1er... cela a changer depuis mon passage sur les bancs de l´école?!
2007-01-08 07:37:19 · answer #8 · answered by Allissa 6 · 1⤊ 0⤋
j'ai aussi remarqué que certaines réponses sur ce forum excluaient implicitement 1 de la liste des nombres premiers!
pour moi il n'y a pas de raison pratique de l'exclure !
2007-01-08 07:36:19 · answer #9 · answered by Anonymous · 1⤊ 0⤋
il ne l'est pas
2007-01-08 07:34:26 · answer #10 · answered by tahimus 3 · 1⤊ 0⤋