¿Por que surgen la escuela de Hilbert (formalista)?

Answer 1

para poder resolver problemas que venian acarreados desde Euclides.

Answer 2

El método axiomático ha demostrado ser muy efectivo ya que reducimos verdades matemáticas a unas cuantas. La geometría de Euclides y su axiomatización demostró por siglos su gran poderío, aunque siempre hubo duda sobre el postulado de las paralelas. Cuando se introdujeron las nuevas geometrías (en las que se podían considerar un infinito de líneas paralelas o ninguna por un punto afuera de una línea dada), se mostró que a partir de variar este axioma se podría obtener algo completamente nuevo (también surgieron nuevas álgebras, etc.) , por lo que los matemáticos en vez de considerar los axiomas como verdades de un sistema hicieron referencia a ellos sólo como afirmaciones que carecen de interpretación. Y que al interpretarlo por medio de un sistema si éste se demuestra consistente y completo, lo serán los axiomas. También se demostró que un sistema se podría reducir en otro, por ejemplo la geometría en álgebra. El problema que sobrevino fue que al tratar con un sistema matemático estamos tratando con un infinito de elementos. Por tal motivo Hilbert mostró un método especial para lograr esto, que no voy a discutir.

En todo este proceso también se dieron cuenta los matemáticos que aunque un sistema, por decir la geometría del espacio, siempre demuestre estar libre de contradicciones y parezca estar completo nunca se puede afirmar como consistente y completo, ya que aunque algo nos pueda parecer intuitivamente verdadero, la historia está llena de falsedades que se creían intutivamente verdaderas.

De tal forma vino Hilbert, en donde propuso un programa de manera completa y consistente para axiomatizar todas las matemáticas, en que los axiomas a considerar carecerían de significado por sí solos y a partir del cual surgieran todas las matemáticas. (El hecho de que esto se hiciera de manera completa y consistente aseguraba que todas las matemáticas estarían libres de inconsistencias, es decir utilizando sólo las reglas de inferencia y los axiomas no sería posible llegar a afirmaciones falsas, como 1 = 0 )

En todo este proceso se dieron cuenta que la aritmética era la base para practicamente cada otro sistema en matemáticas, por tal motivo se buscó probar su consistencia. Pero esto se vino frustrado por Kurt Gödel y su prueba sobre la incompletitud. En ésta demostró que la aritmética nunca podría demostrarse completa y consistente a la vez y por lo tanto practicamente cada otro sistema en matemáticas.