¿Coordenadas Gaussianas?

Question

Como trabajan?, en que se diferencian de las cartesianas? y por qué dice Einstein que solo se utilizan para describir la distancias entre dos puntos infinitamente proximos?

entiendo que se construye a partir de lineas curvas y pueden tener tantas dimensiones como quieras.

Answer 1

Einstein, en su célebre tratado sobre la relatividad especial y general hablaba de este tema, y usaba como ejemplo una mesa de mármol sobre la que se habían colocado varios listones rectos a modo de sistema de coordenadas. Estaríamos ante un sistema de coordenadas euclideo. Si por efecto de la temperatura la mesa se dilatase en uno de sus lados, algunos listones sufrirían una deformación, dejarían de ser rectos, pero seguirían constituyendo un sistema de coordenadas válido para la mesa. De esta forma Einstein nos presentó el sistema de coordenadas gaussianas, basado en curvas, y que él utilizó para su cuatri-dimensional espacio-tiempo no euclideo.

Ademas de la geometra euclidea, la usual, se pueden construir otras geometrias. Einstein dijo que el universo no era euclideo.

Para masinformacion puedes visitar la pagina
http://es.geocities.com/gas_astronomia/big_online/universo_no_euclideo.html
la cual habla de la geometria hiperbolica como explicacion del universo.

Answer 2

Las coordenadas gaussianas son conjuntos de líneas sobre superficies. Si hablamos de dos dimensiones imagina un conjunto de línesa casi paralelas en una dirección y otro conjunto que corta a las anteriores y son también casi paralelas entre sí en otra dirección. A cada línea le corresponde un valor, su coordenada. Cualquier punto se da como (x,y), al estilo de las cartesianas. En una superficie curvada no vale la geometría euclidiana, y por eso la distancia, por ejemplo, no puede definirse como d^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2, excepto si trabajamos en un entorno muy pequeño (local) en donde la superficie se puede asimilar a un plano (en realidad estamos haciendo geometría diferencial de superficies).
Esta geometría de Gauss y Riemann es la que utiliza Einstein en su teoría general de la gravitación, sólo que aplicada a una "superficie" de 4 dimensiones, tres de espacio y una de tiempo.
En el caso de la relatividad, algo que equivale a la distancia infinitesimal y que es un invariante es la expresión
ds^2 = dx^2 + dy^2+dz^2-c^2*dt^2

La otra parte de tu pregunta: ¿en qué se diferencian de las cartesianas? Las cartesianas son válidas en la geometría euclidiana, con independencia del número de dimensiones (dos, tres, etc.) y son rectilíneas y rectangulares. Las medidas derivadas de ella valen para puntos alejados al igual que para próximos, es decir no están sujetas a la restricción de la localidad. Digamos que la geometría de Gauss o de Riemann es más general.