Les dejo dos problemas no tan faciles: sea a sub n = 13. (n-1) + 1?

Question

demostrar que existen infinitos a sub k que solo contienen dos es decir de la forma 2 + 20+ 200+ 2000..............
no se confundan porque incluyo ceros lo que quiero decir es que existen infinitos a de que solo contienen dos como por ej 222
es embrolloso pero ni tan facil ni tan dificil

Answer 1

RESPUESTA:

Existen una infinidad de términos de la sucesión a(n) = 13(n-1)+1 que tienen la forma

2(10^(3+6r) - 1) / 9 = 222... 222

con r = 0, 1, 2, ...

lo cual significa que para los valores

n = [2(10^(3+6r) - 1) / 9 +12] / 13, para r = 0, 1, 2, ...

el término a(n) es un número formado por 3+6r cifras iguales a 2.

Observa que el término
(10^(3+6r) - 1) es una cola de 9's, por lo tanto
(10^(3+6r) - 1) / 9 es una cola de 1's y por tanto
2(10^(3+6r) - 1) / 9 es una cola de 2's.

ANALISIS:

La sucesión a(n) = 13(n-1) + 1 puede escribirse en la forma

a(n) = 13n -12 .............. (1)

Por otro lado, cada número de la forma 2, 22, 222, ... puede escribirse en la forma

2 = 2(1)
22 = 2(11)
222 = 2(111)
etc.

pero siendo 1 = 9/9, 11=99/9, 111=999/9, ... y cada cadena de 9's es alguna potencia de 10 menos 1, tenemos

2 = 2(10^1 - 1) / 9
22 = 2(10^2 - 1) / 9
222 = 2(10^3 - 1) / 9 ..................... (2)
etc.

Como deseamos que a(n) = 2... 222, de acuerdo con las expresiones (1) y (2) establecemos la ecuación

13n - 12 = 2(10^k - 1) / 9 o bien

13n = 2(10^k - 1) / 9 +12 ........... (3)

La expresión (3) significa que a(n) será de la forma 2... 222 si existe alguna k para la cual el número

2(10^k - 1) / 9 +12 sea un múltiplo de 13, que en términos de congruencias, da lugar al problema

2(10^k - 1) / 9 +12 = 0 mod 13

cuya solución es (ver nota al final)

k = 3 + 6r, para r = 0, 1, 2, 3, ...

Por lo anterior, cada vez que n tome alguno de los valores

n = [2(10^(3+6r) - 1) / 9 +12] / 13, para r = 0, 1, 2, ...

el término a(n) será de la forma 2... 222, para cada valor de r en el conjunto {0, 1, 2, ...} lo que prueba que a(n) tiene una infinidad de términos de la forma 222...222222, en donde hay 3+6r dígitos, todos iguales a 2.

EJEMPLOS:

r = 0, n = 18 = [2(10^3-1) / 9 + 12] / 13
a(n) = 222

r = 1, n = 17094018 = [2(10^9-1) / 9 + 12] / 13
a(n) = 222,222222

r = 2, n = [2(10^15-1) / 9 + 12] / 13
a(n) = 222,222222,222222

etc., de manera que cada vez se agrega una cadena "222222" al último término obtenido.

NOTA: Resolución de la congruencia paso a paso

2(10^k - 1) / 9 +12 = 0 mod 13
2(10^k - 1) / 9 = -12 mod 13, se pasa el 12
2(10^k - 1) = -108 mod 13, se pasa el 9
2(10^k - 1) = 9 mod 13, al -108 se suma 9×13=117
14(10^k - 1) = 63 mod 13, se multiplica por 7
10^k - 1 = 11 mod 13, al 14 se resta 13 y al 63 se resta 4×13
10^k = 12 mod 13, se pasa el 1
1000×10^(k-3) = 12 mod 13, se descompone 10^k
12×10^(k-3) = 12 mod 13, al 1000 se resta 13×76
10^(k-3) = 1 mod 13, se divide entre 12

Los residuos que dejan 10^0, 10^1, 10^2, 10^3, ... cuando se divide entre 13 son:

1, 10, 9, 12, 3, 4, 1, 10, 9, 12, 3, 4, 1, ... y se observa que el residuo es 1 cada vez que la potencia es múltiplo de 6, por lo tanto

k - 3 = 6r, para r = 0, 1, 2, ...

o bien

k = 3 + 6r, para r = 0, 1, 2, ...

OJO: Desde que tienes la congruencia

10^k = 12 mod 13

observando la lista de residuos te puedes dar cuenta que el residuo 12 aparece en 10^3, 10^9, 10^15, etc.

Espero que hayas entendido todos los detalles, si tienes duda escríbeme y con gusto te los explico.

SALUDOS !

Answer 2

Me ha gustado mucho tu pregunta, te felicito por ella. Despues de buscar un criterio de divisibilidad por 13 en internet, no me costo mucho trabajo para llegar a la solucion. Te la explico:

El criterio de divisibilidad que utilizare es el siguiente:
Se hacen grupos de tres empezando por la derecha y se restan alternando signos. Si el resultado es un multiplo de trece, en numero origunal tambien lo es.
Por ejemplo:
12345678
678-345+12 = 345 --> No es divisible por 13
12345671
671-345-12 = 338 = 13·26 --> Div por 13

Vamos al problema:
An=13·(n-1)+1 = 13n -13 +1 = 13n-12

Busco n tal que 13n-12=2222.....222
13n=22222.....222234
es decir, la division n=2222......22234/13 tiene que ser natural.
Se trata de ver cuando 22222....222234 es divisible por 13. Veamoslo con el criterio anterior:
Caso 1:
234-222+222-.....-222+222-2 = 232 --> No
Caso 2:
234-222+222-.....-222+222-22 = 212 --> No
Caso 3:
234-222+222-.....-222+222-222 = 12 --> No
Caso 4:
234-222+222-....-222+2 = 14 --> No
Caso 5:
234-222+222-....-222+22 = 34 --> No
Caso 6:
234-222+222-....-222+222=234= 18·13 ---> ¡Es divisible por 13!

Por lo tanto, los numeros divisibles por 13 son de la forma
234 (n=18)
222222234 (n= 17094018
222222222222234 (n= 17094017094018)
.......
etc.
Por tanto, existen infinitos n que cumplen con lo que preguntas.

Un saludo y.... felicitaciones nuevamente.