Che significa che una funzione è derivabile??

Answer 1

Innanzi tutto c'e' da dire che il concetto di derivabilita' e' "puntuale". Dire che una fuzione e' derivabile non significa niente...piuttosto bisogna chiedere "la funzione e' derivabile in quel particolare punto a ??"
...chiarito questo , il concetto di derivabilita' in un punto si verifica con una richiesta : deve "ESISTERE" "FINITO" il seguente limite:
lim(h-->0) di (f(a+h)-f(a))/h .....il cosiddetto rapporto incrementale,, tale limite e' proprio la "derivata"
,,,nella pratica , vedrai che se si verifica tale richiesta , la funzione , nell'INTORNO del punto "a" scorre liscia : non presenta salti , discontinuita' o spigoli.

Answer 2

Significa che se fai uno zoom a scale sempre più piccole su un qualsiasi segmentino del grafico quello che vedi tenderà - a mano a mano che zoommi - ad assomigliare sempre più ad una linea retta.

Answer 3

Premetto che la comprensione della mia risposta è sicuramente vincolata al livello di conoscenza dell'analisi matematica che hai .

Una funzione si dice derivabile (all'interno di un certo dominio )se esiste ed è finito il limite del suo rapporto incrementale . Nella pratica significa che ogni punto del dominio di tale funzione è dotato di una retta tangente.

Answer 4

Una funzione è derivabile in un punto x_0 (in cui la funzione è definita) se esistono finiti ed eguali i limiti fatti da destra e da sinistra del rapporto incrementale della funzione nel punto x_0 per l'incremento che tende a zero; in formule:
lim [ f(x) - f(x_0) ] / (x - x_0)
x->x_0

La definizione è identica a quelle date dai colleghi, salvo per il fatto che nella mia definizione viene specificato che i limiti fatti da destra e da sinistra devono essere eguali (è un fatto molto importante).
In effetti, la funzione |x|, nell'origine è ben definita, ed esistono finiti i limiti da destra e da sinistra del rapporto incrementale, ma questi limiti sono diversi (+1 e -1 rispettivamente: verificare...)
La funzione |x| non è quindi derivabile nell'origine, non esiste la derivata della funzione nell'origine.

Il concetto di derivabilità in un punto si estende poi facilmente a tutti i punti in cui è definita la funzione. Se la funzione è derivabile in ogni punto in cui è definita, allora diremo che è derivabile tout court. Ad esempio, la funzione |x| non è ovunque derivabile. Infatti, pur essendo definita per ogni x reale, non è derivabile nell'origine, come abbiamo visto sopra.

La derivata concepita globalmente (nell'ultimo senso visto) è a sua volta una funzione e il suo studio ci può dire molto sul carattere della funzione di partenza: ad esempio, ci può dire quali sono gli intervalli di monotonia e in quali punti la funzione eventualmente raggiunge valore massimo o minimo.

Answer 5

Una funzione è derivabile in un punto se il limite del rapporto incrementale in quel punto esiste ed è finito.

Answer 6

In matematica la derivata di una funzione è, insieme all'integrale, uno dei cardini dell'analisi matematica e del calcolo infinitesimale.

Un modo semplice di capire cos'è la derivata è guardare al suo significato geometrico: geometricamente la derivata di una funzione f in un punto x0 è la misura della pendenza (il coefficiente angolare, cioè la tangente dell'angolo fra la retta tangente e l'asse orizzontale) della retta tangente alla curva rappresentata dal grafico della funzione nel punto (x0,f(x0)).

Nel caso di funzioni di una sola variabile, continue e derivabili in tutto il loro dominio, o almeno in un intervallo di questo, si ricava con operazioni algebriche una nuova funzione che ne rappresenta la derivata al variare di x: nel linguaggio comune è a questa che ci si riferisce quando si parla genericamente di derivata di una funzione, perché è unica a parte il segno, che dipende dalla direzione che viene considerata durante la derivazione (in avanti o all'indietro).

Nel caso di funzioni di più variabili indipendenti questa unicità si perde, perché le direzioni in cui è possibile calcolare il rapporto incrementale non sono più due soltanto ma infinite: non è più possibile definire una singola funzione delle stesse variabili indipendenti che renda conto di tutti i possibili rapporti incrementali della funzione. Si ricorre allora a delle derivate parziali della funzione, che combinate linearmente permettono di ricavare il rapporto incrementale della funzione per ogni direzione considerata.

Answer 7

che esisterà sempre il limite per h con h che tende a 0 del rapporto incrementale.
la prof c'ha detto questo, ma di preciso non ricordo!

Answer 8

una funzione è derivabile se solo se ammette una sola derivata che abbia valore reale...
la derivata è il coefficiente angolare della tangente nel punto x con zero appartenete al grafico della funzione...

Answer 9

significa che esiste il limite del rapporto incrementale in quel punto.
Un caso in cui esiste è f(x) = x e quel limite è 1 in tutti i punti
Un caso in cui non esiste è f(x) = 1/x per x= 0 perchè il rapporto incrementale diventa infinito, anche se esiste per tutti gli altri punti

Answer 10

semplicemente come definizione: che se ne può trovare la derivata, oppure le risposte prcedenti possono dirti di più