cosa sono i moltiplicatori di lagrange?

Answer 1

Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange permette di trovare massimi e minimi vincolati di una funzione di più variabili semplicemente risolvendo un sistema algebrico.

Esempio con f. di due variabili:
Se hai f(x,y) e v(x,y) [il vincolo] entrambe funzioni di classe C1 in un aperto D.
Chiami E il dominio "vincolato" [ovvero in cui i punti (x,y) soddisfano il vincolo v(x,y) = 0].
Se in E puoi esplicitare la variabile y in funzione di x [y = y(x)], allora esiste una costante L (solitamente indicata con la lettere "lambda"..qui con L per praticità) tale che le coordinate dei punti di estremo vincolato soddisfano il seguente sistema:

fx + L vx = 0
fy + L vy = 0
v(x, y) = 0

(x, y, L incognite / fx, vx = derivate parziali in x / fy, vy derivate parziali in y)

Answer 2

Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange serve a ricondurre una funzione il cui insieme di definizione è un insieme aperto a una funzione, detta lagrangiana, che è definita su un insieme compatto. Esso è applicabile a funzione da 2 o più variabili indipendenti e a una sola variabile dipendente.

Questo metodo si basa sul Teorema di Weierstrass garantisce che una funzione continua e definita su un compatto (insieme chiuso e limitato), possiede massimo e minimo assoluti. Tale teorema non vale per insiemi di definizione aperti. La continuità della funzione è la seconda ipotesi necessaria: la funzione iniziale deve essere continua. Solitamente, le funzioni proposte negli esercizi sul metodo di Lagrange di livello universitario sono polinomiali e dunque continue.

Data la funzione f(x,y) vincolata dalla condizione g(x,y) = 0, si definisce la funzione ausiliaria z(x,y)=f(x,y)+ λ·g(x,y), con λ reale. Anche la funzione vincolo g(x,y) è una funzione definita su un insieme aperto più o meno esteso di quello di f(x,y).

La funzione ausiliaria z (o funzione lagrangiana L) è una funzione di tre variabili (x, y e λ) ed è pari alla somma della funzione iniziale per un multiplo del vincolo g(x,y). Il numero λ è chiamato "moltiplicatore di Lagrange". Se il moltiplicatore è nullo: z(x,y)=f(x, y, λ), un vuoto cambiamento di lettere che ci lascia nella situazione iniziale in cui non vale il teorema di Weierstrass.