Tra n e 2n c'è sempre un numero primo?

Question

E' stato già dimostrato, ma in un modo abbastanza complesso secondo me.
Vorrei dimostrarlo in un altro modo, impostando la dimostrazione cosi:
Supponendo che esista n tale che tra n e 2n non ci siano numeri primi, dimostriamo che nemmeno 2n+1 è primo (1)
oppure
dimostriamo che nemmeno tra 2n e 3n ci sono numeri primi(2)
Una volta dimostrate o la (1) o la (2), proseguirei:
Quindi per induzione non ci sono più numeri primi, il che è assurdo

La (1) è equivalente alla (2) ovviamente
Io 'sento' che la (1) e la (2) sono vere, il concetto è che se i numeri primi tra 1 e N hanno 'coperto' tutti i numeri tra n e 2n dovrebbero 'coprire' anche tutti gli altri... passatemi il termine, lo so che non è una dimostrazione vera...
La domanda, per qualche laureato in matematica è:
vi sembra una strada percorribile? avete suggerimenti in merito? spunti? volete collaborare con me?

Mi spiace il_bue, però posso procedere per induzione, da quell'N in poi. Non è necessario partire da 0 per dimostrare una cosa per induzione.
Ossia se dimostro f(N) vera
e f(N) implica f(N+1) e f(N+2)
posso dire che f(n) è sempre vera per ogni n>=N il che mi basta

x Kurokhan
x n=1 è vera, infatti 2n= 2 è primo

Comunque non è in discussion il fatto che tra n e 2n ci sia un numero primo (ce ce può essere anche + di uno, non è detto che ce ne sia uno solo!!), ma COME dimostrarlo.
Tenete presente che la dimostrazione GIA' ESISTE, solo che ne voglio trovare una migliore.

x Tristan
Forse non è chiaro che si tratta di una dimostrazione per assurdo!!
E' chiaro che (1) o (2) non sono vere.
Sto dicendo che, supposto che esita PER ASSURDO N tale che tra N 2e 2N non ce ne siano, vorrei dimostrare che allora neanche 2N+1 è primo
Lo so che 2N+1 non è sempre primo dai!!

x Gabriele
Si invece Gabriele, infatti se dimostro che 2n+1 non è primo, allora, poi, essendo chiaramente 2n+2 non primo, posso riapplicare la stessa dimostrazione usando (n+1) al posto di n dimostrando quindi che (2*(n+1))+1 non è primo e cosi via, infatti le condizioni per la dimostrazione rimangono valide, ossia
che da n a 2n non ci siano numeri primi!
Bello vero?

Hai colto nel segno The artist, è proprio cosi che voglio procedere!!

Answer 1

La tua (1) è la seguente:

Se tra n e 2n non ci sono numeri primi, allora 2n+1 non è primo.

(Premetto che non conosco la dimostrazione della proprietà che citi). Cmq la tua (1) equivarrebbe a dire (è la proposizione contronominale) che

Se "2n+1" è primo allora esiste almeno un primo tra n e 2n, ossia riduci il problema generale ai soli interi n tali che 2n+1 è primo. Non so quanto questo sia più facile di dimostrarlo per ogni n...ma magari lo è...

forse già nella dimostrazione nota (che non ho mai letto) ci si riduce a questo fatto...se no puoi provare a guardare la dimostrazione già nota e vedere se può essere semplificata per i casi a cui ti sei ridotto tu, ossia per gli n tali che 2n+1 è primo....

...è tardi...se ho scritto fregnacce ignorami....


Puoi darmi una referenza per una dimostrazione leggibile del risultato in questione? Grazie.

Answer 2

adesso non è che tutto si può dimostrare semplicemente... esistono anche le dimostrazioni un po' complicate. e quando ci sono in ballo i numeri primi, le dimostrazioni sono sempre un po' più complicate.

Answer 3

non conosco la dimostrazione e non so se la tua strada è percorribile però mi sembra che ci sia un errore sicuramente la (2) implica la (1) ma credo che il fatto che 2n+1 non sia primo non implica che fino a 3n non ci siano primi. fammi sapere sei fai qualche progresso ciao ;)

ok capito :)

Answer 4

bella domanda...la dimostrazione che conoscevo e che mi pare non fosse per induzione ma per assurdo esiste ed è lunghissima...ora non me la ricordo.

Answer 5

Non mi preoccupo di problemi del genere, fintanto che non si converrà che il fattoriale di zero non può essere 1... e che zero diviso zero deve fare 1 perché qualsiasi numero diviso per se stesso dà per quoziente l'unità matematica.

Answer 6

1
Tra quanto deve essere compreso?
Per n=1 non vale, per n=2 vale, per n=3 ci sono due numeri, uno primo e uno no, e così sarà per tutti gli altri...

Answer 7

n2 +1 ti da sempre un numero dispari ma non sempre i numeri dispari sono primi, cioè divisibili solo per se stessi, e la (1)è dimostrata e abbastanza intutitiva ma la (2) è sbagliata:

assumiamo n=4 2n sarà conseguentemente 8 e 3n 12.
tra 4 e 8 ci sta 7, numero primo. tra 8 e 12 troviamo 11 altro numero primo. questo dimostra il contrario del tuo assunto.

non sono un laureato in matematica, ma come vedi una semplice trasposizione numerica del tuo secondo postulato dimostra la sua fallacità, quindi il presupposto che hai esposto crolla, mi dispiace.