¿Cuales son las aplicaciones en la vida diaria de los fractales?

Question

Yo se que muchas de las formas de la naturaleza se pueden obtener haciendo uso de estas ecuaciones, pero ¿que aplicaciones prácticas tienen?

Answer 1

Aplicaciones
Técnicas de fractales han sido utilizadas en la compresión de datos, así como en una variedad de disciplinas científicas.

Existen pruebas para la compresión de imágenes utilizando la geometría fractal junto con el teorema del collage, basándose en encontrar las transformaciones lineales que hacen que al aplicarlas reiteradas veces obtengamos la imagen procesada en cuestión. Lamentablemente, aún siguen siendo de tiempo asimétrico, es decir, se tarda aun mucho en encontrar las transformaciones que definen la imagen. No obstante, una vez encontradas, la decodificación es muy rápida, solo hay que iterar el sistema. La compresión aunque dependa de muchos factores suele ser equiparable a la compresión JPEG, con lo cual el factor tiempo resulta determinante para decantarse por una u otra compresión.

También cabe destacar su aplicación al mundo de las artes plásticas y especialmente de la música.

Intuitivamente. Las formas fractales, las formas en la que las partes se asemejan al todo, están presentes en la materia biológica, junto con las simetrías (las formas básicas que solo necesitan la mitad de información genética) y las espirales (Las formas de crecimiento y desarrollo de la forma básica hacia la ocupación de un mayor espacio), como las formas más sofisticadas en el desarrollo evolutivo de la materia biológica en cuanto que se presentan en procesos en los que se producen saltos cualitativos en las formas biológicas, es decir posibilitan catástrofes (hechos extraordinarios) que dan lugar a nuevas realidades más complejas, como las hojas que presentan una morfología similar a la pequeña rama de la que forman parte que, a su vez, presentan una forma similar a la rama, que a su vez es similar a la forma del árbol, y sin embargo cualitativamente no es lo mismo una hoja (forma biológica simple), que una rama o un árbol (forma biológica compleja). Pero además las formas fractales (desde esta concepción intuitiva) no solo se presentan en las formas espaciales de los objetos sino que se observan en la propia dinámica evolutiva de los sistemas complejos (ver teoría del caos). Dinámica que consta de ciclos (en los que partiendo de una realidad establecida simple acaban en la creación de una nueva realidad más compleja) que a su vez forman parte de ciclos más complejos que a su vez forman parte del desarrollo de la dinámica de otro gran ciclo, que .... y las evoluciones dinámicas de todos estos ciclos presentan las similitudes propias de los sistemas caóticos.

Se usan también como punto de unión entre el arte y la ciencia, un ejemplo de eso es el científico-poeta chileno-alemán Mario Markus.


Fractalismo, Teoría del Caos y Ciencias Sociales
Gracias al advenimiento de la geometría de los fractales, varias ciencias particulares pueden hoy tomar sus conceptos y aprovecharlos en sus respectivas áreas de conocimiento. Está surgiendo de este modo una compleja matriz científica, que puede servir para hacer de soporte a todas las ciencias particulares. Una suerte de Ciencia Madre.

Las ciencias sociales, por ejemplo, pueden utilizar muchos conceptos abstractos de los fractales y de la teoría del caos, proponiendo nuevas teorías o profundizando las clásicas, pero enriquecidas por el nuevo paradigma.

Marx, para citar un ejemplo, realizó intuitivamente el "análisis fractal" de la economía política, estudiando la "mercancía" como la pieza raíz (la ecuación fundamental), de la cual obtenía el "árbol" completo de la sociedad capitalista, esto es, el fenómeno integral. En ese sentido, Marx veía el germen del sistema capitalista en su partícula económica celular, la mercancía, mínima expresión de la cual emanan todas las contradicciones sociales que luego se iteran a través de todo el sistema, preñándolo de su esencia y contradicciones.

La "mercancía" es la quintaesencia de la sociedad "mercantil" en la que vivimos. No es extraño que así sea, aunque no debemos caer en el reduccionismo. Un sistema simple (la mercancía) repercute (recursividad), se despliega de tal forma que pare un sistema complejo, que es cualitativamente diferente de la partícula que le dio la información.

Si el aleteo de una mariposa en Pekín puede desencadenar un huracán en Miami, como postula la Teoría del Caos, ¿No puede una crisis económica repercutir en todo el sistema? Vemos confirmar esta teoría en las crisis que generan ciertas economías particulares (nacionales) sobre el conjunto de la economía mundial.

De todas maneras, una extrapolación demasiado esquemática de la geometría fractal a las ciencias sociales será siempre una utopía, ya que la sociedad no es precisamente una abstracción matemática. En las matemáticas priman los entes estáticos, ideales: los números. Con una ecuación sumaria, o parámetros fijos, una computadora puede deducir una estructura, como pasa en el caso de las imágenes digitales que representan ecuaciones fractales, que no son otra cosa sino una ecuación iterada una cantidad determinada de veces. Sin embargo, una sociedad no puede hallar una ecuación sumaria que genere una estructura determinada, por el simple hecho de que los pilares de una sociedad son más elásticos que simples coordenadas ideales. Entonces se da lo que la teoría del caos denomina "sensibilidad extrema" a los "estados iniciales" de un proceso, que pueden redundar en drásticos cambios pasado un tiempo del inicio. De este modo, en las ciencias sociales priman los elementos móviles, la sociedad en un movimiento incesante. Sin embargo, el análisis del "ADN social", o sea, todas sus tendencias internas de desarrollo, pueden ser estudiadas siguiendo los parámetros de esta teoría, que no es otra cosa que una teoría integral del desarrollo, del devenir. Dicho de otra manera, es una forma novedosa que puede tomar el método dialéctico que funda Marx, sobre la base de Hegel y Heráclito.

La ciencia tiene como uno de sus usos la predicción. Es decir, predecir determinando Leyes que se cumplan a cabalidad, con lo que el futuro sería predecible desde la razón. Muy diferente a la predicción esotérica, este tipo de predicción científica se da en base al estudio de las condiciones iniciales de un fenómeno. Allí se trata de observar sus principales tendencias vitales, que se cristalizan en un tipo de desarrollo. Dos ejemplos: Newton, con su teoría de la gravedad, estableció leyes que permitieron resolver y predecir, fenómenos que antes eran imposibles de estudiar. Otro ejemplo lo tenemos con el avance de la biología genética. Con el estudio del genoma humano, lo que se está tratando de hacer es sacar las leyes que rigen el desarrollo del ser humano. Sin embargo, la sociedad no tiene un ADN tan rígido como el ser humano.

Marx también estudió otras ecuaciones sumarias que engendraban a la estructura capitalista mundial. Una de ellas era la propiedad privada de los medios de producción. Estudiando esta forma legal de relacionamiento social, halló cómo se desarrollaría este fenómeno histórico. Y sacó la conclusión de que la propiedad privada tendía al monopolio, a lo que hoy llamaríamos técnicamente fusión de empresas. Pero no pudo determinar "exactamente" el porvenir del sistema, ya que el capitalismo no tiene un ADN que permita predecir con exactitud su desenvolvimiento diacrónico, histórico. Por ello, las ciencias sociales se baten entre las ciencias duras y las blandas. No llega a ser una "ciencia dura" por esta imposibilidad de hallar leyes precisas como el caso de las ciencias exactas. Pero puede hallar leyes elásticas, que acerquen al objeto de estudio sin renunciar a la ciencia. El método que puede servir para ello es la teoría del caos y los fractales.

En esto se relacionan la teoría de fractales y la teoría del caos, las cuales son parte de un mismo y novedoso paradigma emergente en la Ciencia. La teoría de Sistemas de Ludwig von Bertalanffy también tiene sus aportes para hacer, al igual que la Teoría de las catástrofes, de René Thom.

Answer 2

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Answer 3

MÚSICA FRACTAL: Nuevos Horizontes


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¿Música Fractal?

Navegando por la red, si nos sumergimos en cualquier motor de búsqueda convencional ingresando la palabra "fractal", se nos vendrán encima millones de artículos, sitios webs, grupos de news y chat rooms (en algunos casos) junto con miles de páginas que muy poco o casi nada tienen que ver con ésto.

No así, muchas veces y en muchos ámbitos nos topamos con un concepto cercano, pero lejano a la vez: la música fractal.Puede sernos indiferente una, dos, hasta tres veces, pero ya la cuarta vez lo pensaremos un poco. A la quinta, estaremos buscando por "música+fractal" y a la sexta estaremos navegando en la multitud de páginas sobre música fractal.

Pero, ¿qué es exactamente la música fractal?. Pues la respuesta no es difícil: es música generada por un fractal. Claro, eso no dice mucho. Entonces, comencemos desde un principio...



Cada Punto, una Nota

Sabemos que un fractal es la iteración de una expresión algebraica simple. La imagen que vemos, con sus colores y todo, es la representación de esta iteración en un entorno gráfico dentro del plano Complejo, mediante porgramas "especiales". Cada imagen fractal está formada por infinitos puntos del plano (lo que en computación es virtual, ya que si un ordenador representara un fractal como es, colapsaría). Si a cada punto asociamos una nota musical, obtendremos lo que conocemos como Música Fractal.

Ahora piense un poco. Si son infinitos puntos del plano, ¿entonces son infinitas notas?. Pues no. Sabemos que geométricamente un fractal se genera en base a un patrón o generador. entonces el resto de la imagen son el mismo generador de formas espaciales disntintas (ubicadas en distintos espacios, quiere decir). Por tanto, podemos decir que existe un patrón de puntos congruentes entre sí que generan el fractal, a los que, por estar determinados, podemos asociarles notas musicales determinadas.

Pero si un fractal es "infinito" en puntos, ¿entonces la melodía es infinita?. Pues sí.



Notas y Ritmo: discordancia musical

Los programas diseñados actualmente no poseen la tecnología suficiente como para producir la música de diversos fractales. Al contrario, se enfocan a una clase específica de fractal (muy conocidos son los del tipo de Lorenz).

Este nuevo avance está aún en fase de crecimiento. La música fractal apenas si puede emitirse a través de controladores de sintetizador MIDI. Eso nos da una idea de lo que se puede conseguir. Aún así, el mayor problema es que la música fractal no tiene ritmo. O por lo menos, así lo parece.

Diversas aplicaciones ocupan procesos complejos para darle ritmo a los fractales, logrando resultados que dejan que desear.

En el Arte


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Por increible que pueda parecer o por el contrario, obvio, los Fractales tienen también sus aplicaciones dentro del Arte.

La principal, que no es tanto así como una aplicación, es la belleza del gráfico de estos cuerpos matemáticos. La mayoría de los fractales, una vez representados, arrojan formas muy hermosas y de variados colores. Como dice Mandelbrot, la plástica se explica por si misma.

Pero hablando ya un poco de cosas más útiles, podría referirme a mi experiencia personal sobre ésto. En mi vida he conocido a 2 personas que practican directamente con las técnicas fractales y el arte. Me referiré solamente al Arte Pictórico (pintura) por el momento de forma contundente, ya que los demás acercamientos que he tenido con otras formas, como la escultura, aún no me son muy familiares y no se han desarrollado lo suficiente como para captar nuestra atención.

La primera persona que conozco y trabaja con Fractales es Alyda de Villers. Licenciada en arte de México, me ayudó a inspirarme para uno de mis trabajos en computación (que está de más mencionar) y también a conocer la manera en que de una forma impresionantemente interesante se aplican los conceptos de fractales a la pintura. Ella utiliza varias cosas de los Fractales, quizá en forma más espiritual que material.

De las aplicaciones que hemos visto, ésta quizá es la más "eterea" (que concepto ese, ¿eh?). Eso, porque no se utilizan los fractales en su forma más "matemática". Tampoco se pintan los fractales. Sino que se utilizan los conceptos de orden y caos que van ligados con éstos para la localización de los elementos en la obra. Si desea conocer más a cerca de ésto, no deje de visitar el sitio web de Alyda.

Ahora bien. Me he dado cuenta que de todas las aplicaciones que se puedan hacer por el momento en arte con fractales, destaca el concepto de orden (o de Caos, para ser más precisos). Como sabemos por la segunda ley de la termodinámica, todo cuerpo sometido a energía aumenta la entropía (o desorden) del sistema. Y los fractales no son la excepción. Aunque de esto nos referiremos más certeramente a futuro y en otras secciones.

Me imagino que de aplicarse a otras expresiones artísticas, estás serían las mismas. Por el momento he de referirme solamente a estas aplicaciones, ya que lo que me mantiene ocupado por estos días es intentar conocer algo sobre aplicaciones en Escultura (ya desarrolladas) y en Arquitectura de igual forma.

En la Geografía


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Otro de los campos en los que son usados los fractales en directa aplicación es en la Geografía. Principalmente y como se debe a su trabajo, los Fractales prestan una ayuda "matemática" a esta rama del conocimiento.

Pero tampoco tan así es el asunto. En fin, veremos más adelante y en referencia a artículos pasados cómo ocurre este fenómeno que mencionamos.

La primera de las aplicaciones que hoy en día se dan a los fractales es en el cálculo más cercano o acertado de distancias. Ésto, para determinar las verdaderas distancias que separan costas de continentes y cosas por el estilo. Además, se ha usado mucho lo que son las curvas de Koch para efectos similares al que mencionamos, y que usted puede revisar en el siguiente artículo que hace referencia a ello. Esto presenta un interesante problema, ya que ud. podría pensar "que importancia tiene calcular mejor una distancia?". Pues en asuntos como la exploración espacial, por ejemplo, errar un "pequeño" cálculo, a escalas diferentes, puede significar millones y millones de kilómetros de "error" lo que puede incurrir en serios problemas.

Quizá la forma más útil de aplicar los fractales en la geografía es la elaboración de mapas en tres dimensiones muy detallados (y elaborados, por lo demás) que permiten entregar una imagen 99.9% real en comparación de la forma de nuestro planeta y su geomorfología. Como hemos dicho muy a menudo en otros artículos, los fractales se relacionan mucho con la forma, la textura y similares.

En Medicina


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Aunque pueda parecer increible, los Fractales se han utilizado en la Medicina también.

Dentro de mi experiencia personal, lo primero que conocí sobre los fractales dentro de este campo fueron los "virus fractales". Navegando en Internet descubrí una serie de artículos (que podrá revisar aquí mismo en este sitio o buscarlos por su cuenta) que hacían referencia a extraños cuerpos celulares que eran llamados virus fractales. En un principio me pareció una especie de "paranoia" referirse a estos cuerpos, pero luego decidí abrir mi mente a otras posibles explicaciones del fenómeno que aquí se planteaba, ya que no era mucho lo que se explicaba de manera fundamentada sobre ésto (me interesa de sobremanera en todo caso conocer algo más sobre este fenómeno, así que si usted lo desea puede escribirme para discutir este tema).

En mis conversaciones por email con el profesor Sergio Plaza (un gran matemático por lo demás) me dio a conocer muchas aplicaciones que se estaban haciendo con fractales hoy en día. Dentro de ellas, discutiendo sobre estos virus fractales, me sugirió la idea (o me la hizo saber mejor dicho) de que hoy en día se experimenta (se observa, diría yo) con determinados tumores que se cree se ramifican en forma de fractal. De ser esto cierto (debo aceptar que salvo esa idea, no conozco más a cerca de esa referencia) podría llegarse al punto mismo de inicio del problema. Aunque por el momento es algo a lo que no me gustaría referirme (porque no sé mucho del asunto y no quiero llevarlo a confusión).

Pero dejando atrás a esos dichosos virus fractales y cosas por el estilo, puedo referirme a un asunto claro. El doctor Juan José Aranda me escribió una vez, primero en el guestbook del sitio, sobre la manera en que él y su grupo de trabajo habían utilizado técnicas fractales para predecir la Osteoporosis, dolorosa enfermedad osea que afecta a pacientes normalmente de la tercera edad o con una clara deficiencia en el calcio de sus huesos.

En conversaciones más profundas que mantuvimos más adelante, me explicó perfectamente como era el mecanismo que utilizó, que por lo demás no deja de parecerme genial.

La Osteoporosis, como enfermedad, cuando comienza a presentarse en los pacientes, aún debe pasar algún tiempo (muchas veces considerable), para que pueda ser detectada. La enfermedad se detecta por medio de análisis a la textura de los huesos, la que se ve afectada cuando la enfermedad ataca. Muchas veces la alteración debe ser muy avanzada para poder detectarla, lo que en la mayor parte de los casos hace que el tratamiento sea muy largo.

El grupo de trabajo del doctor Aranda realizó un programa en computación que comparaba texturas de los huesos. El proceso, explicado de forma simple, hacía lo siguiente: se tomaba una muestra de la textura del hueso en su estado normal y se almacenaba en la memoria del programa. Luego, se hacía lo mismo pero ya con los pacientes a los que se pensaba eran propensos a sufrir la enfermedad. Luego, el programa comparaban las texturas (más adelante podrá ver que las texturas tienen mucho que ver con los fractales, lo que ha permitido su incorporación incluso en la Industria textil) de ambas muestras y podía detectarse la presencia de la enfermedad, muy prematuramente, ya que se podía hacer una "aproximación" con técnicas fractales de cómo evolucionaría esa textura tomada en muestra del paciente y ver qué tanto se acercaría a la textura de un hueso enfermo.

Personalmente creo que ésta es una de las aplicaciones más brillantes que he visto en el último tiempo y por qué no decirlo, la mejor, ya que permite algo que las demás no: el directo beneficio de la salud humana.

En las Ciencias de la Computación


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Dentro de las aplicaciones que se dan a los Fractales, las que se presentan en la Computación son verdaderamente impresionantes y creativas, permiten el desarrollo de muchas cosas distintas (técnicas) y se considera pionera en el campo de sus aplicaciones.

La aplicación más común y creo que la que más hemos mencionado, es la de la Transformación Fractal, proceso que se utiliza en el tratamiento de imágenes para reducir su espacio "físico" (o peso en bytes) mediante esta técnica.

La primera vez (o mejor dicho, la primera "conocida" vez, ya que se hacía desde antes) que el público pudo observar esta forma de utilización del proceso fractal fue en las imágenes incluidas en la Enciclopedia Multimedia Encarta. Aunque ahora esto se aprecia de manera muy común y no sólo en imágenes estáticas, sino que en complejas animaciones de videojuegos y también en algunas cintas de cine muy populares (especialmente de ciencia ficción).

Este proceso es en cierta forma "simple". Pero para entenderlo mediante ejemplos, porque llevarlo a cabo es bastante más complejo que poder pronunciar su nombre seguido 3 veces y sin detenerse (eso era un chiste, por si no lo notó).

Imáginese que tiene una fotografia o dibujo cualquiera en la pantalla de su computador. Como habrá de saber, cada imagen o fotografía se representa en la pantalla mediante pixels o "puntos" que unidos todos y en determinados colores, forman la imagen. Pues bien. Se habla muchas veces de "resoluciones de pantallas", que son números bastante conocidos, especialmente si usted navega mucho por internet. Estas resoluciones de pantallas son la "capacidad" de pixels que puede mostrar simultaneamente el monitor de su computador. Entonces, mientras más pixels sea capaz de mostrar su PC, mayor será la "resolución de imagen" de la foto o dibujo que este observando.



Por ejemplo, una alta resolución de pixels nos permitirá ver la primera imagen. Por el contrario, una baja resolución de pixels nos permitirá ver una imagen como la que está al lado derecho (que es bastante confusa e inentendible por lo demás). Pero notemos algo importante: informáticamente, es decir, si medimos en "bytes", la primera imagen "pesa" (o contiene mayor cantidad de información) que la segunda. He aquí la primera diferencia importante del proceso.

Como sabemos, los Fractales se forman por una "repetición" de una imagen geométrica (ésto según nuestra definición "simple y errada" del concepto). Entonces, notaremos que, sea como sea, un pixel sigue siendo un pixel bajo cualquier circunstancia dentro del mundo de nuestro computador. La técnica de compresión, en este caso, es una que toma como patrón geométrico el pixel y toma esa gran cantidad de pixels para convertirlos en uno sólo muy especial que va acompañado por una expresión matemática que el ordenador interpretará cuando abra la imagen para que ese pixel especial pueda distribuir los demás pixels en torno a la pantalla para dar forma a la imagen.

Esto ha permitido incluir gran cantidad de imágenes en enciclopedias como la mencionada, que posean una gran cantidad de pixels (o sea, de gran calidad gráfica) y que ocupen poco espacio (algo muy preciado en el mundo de la computación). Pero además, esto mismo, mediante computación de por medio claro, ha permitido crear increibles efectos en muchas películas de ciencia ficción y lo mismo en videojuegos de todo estilo.

Algunos ejemplos claros de este proceso se ven perfectamente en Internet. Si su conexión no es muy rápida (lo que suele pasar) podrá notar que en determinados browsers (los programas que se usan para navegar, como IE o Netscape) las imágenes se van cargando mediante este proceso, que nos entrega en primer plano una imagen "cuadriculada" que luego se va "barriendo" y tomando mejor definición. Ese podría ser perfectamente un ejemplo que grafica ésto.