recherche théorique?

Question

donner, s'il en existe, un produit scalaire sur l'espace C(R-->R) des fonctions de R dans R infiniment dérivables sur R.

Je demande quelques pistes de réflexion, c'est un défi lancé par mon prof de math (spé)

Answer 1

En fait tout espace vectoriel peut être muni d'un produit scalaire.
démonstration:
* Tout espace vectoriel admet une base (Ei) i app I
* Pour tous vecteurs x et y, x = Sigma(xi Ei) et y = Sigma(yi Ei),
on pose f(x,y) = Sigma(xiyi)

@Guillaume: le genre de séries que tu envisages ne peut converger pour toutes les fonctions de C(R, R), puisque on peut trouver des fonctions qui tendent vers l'infini "aussi vite qu'on le veut".

Answer 2

La reponse de francois G est exacte. Cependant, elle reste un peu abstraite puisqu'elle fait quand meme appel a l'axiome du choix et qu'elle ne permet pas d'avoir un exemple.
Je tiens a apporte une petite precision d'ailleurs. Cette demonstration ne vaut que si l'on considere un espace vectoriel sans structure topologique. En effet, si l'espace possede une structure topologique, il faut verifier que le produit scalaire est compatible avec cette structure. (et on sait qu'il existe des espace vectoriel avec des topologies incompatible avec une topologie hilbertienne)

Sinon, une petite piste pour obtenir une produit scalaire sur ton espace. En fait, on aimerait bien pourvoir utiliser un produit L^2 sur cet espace. Le probleme evidement, c'est que toutes ces fonctions ne sont pas forcement L^2... mais elles le sont localement...
Et un produit scalaire, c'est juste une forme bilineaire (ou sesquilineaire) definie positive.
Et puis une somme de forme bilineaire positive est une forme bilineaire positive. Une serie de forme bilineaire positive aussi si tu en assures la convergence.
Avec ca, tu devrais pouvoir trouver un produit scalaire.

@francois: Effectivement, si tu prends les fonction telle quelle, ca ne va pas marcher. La premiere idee serait de tronquer (sup(f,A)) mais ca coincerait avec la bilinearite. Alors on fait un truc dans ce genre mais de maniere un peu moins bourin. par exemple, prendre sur l'intervalle [-n,n] des mesure qui "ecrasent" de plus en plus a l'infini.
Apres reflections, j'avoue que ce n'est pas plus constructif puisque j'ai besoin de l'axiome du choix pour obtenir une telle suite de mesure....
Les fonctions C^infini sont trop caoutchouteuse pour pouvoir avoir une expressions explicite apparemment....

Answer 3

Q pa claire !!ou votre prof rigole !!
en tout cas je pense q'il ve savoir si je bien compri le Q , qlq'1 qui va parle de base de C

Answer 4

Ton intéressante question pose le problème suivant (je me limite à R) :

- Toute fonction polynomiale de degré n est infiniment dérivable, la dérivée valant 0 à partir de l'ordre (n+1).
- Des fonctions trigonométriques simples donnent des dérivées cycliques (sinx, cosx, -sinx, -cosx, sinx,...)

Dès lors, un produit scalaire sera certainement 0 ( = réponse à ta question), il semble qu'il puisse y en avoir d'autres...

Answer 5

Demandez au prof si la fonction nulle (F(x) = 0 pour tt x) n'est pas infiniment dérivable. Si c'est le cas vs avez gagnez !

Answer 6

Produit de convolution?

Answer 7

aaarrrgg! la vache c'est hard ton truc là! essaye dans google il y a plein de truc sur les produits scalaire, et aussi dans wikipédia.

je te souhaite bien du courage