suites arithmétiques?

Question

On définit,pour tout entier naturel n>0,la suite (Un) de nbres réels >positifs par Un=n²/2^n . (2^n=2puissance n)
1)pu tu entier naturel n>0 ,on pose Vn=U(n+1)/Un.
a)Mq lim Vn=1/2?
n td +&
b)Mq, pu tu entier naturel n>0, Vn>0.5 ?
c)Trouver le + peti entier N tq , si n>=N, Vn<3/4 ? (>=:sup ou égal)
d)En déduire que si n>=N alors U(n+1)<3/4Un ?
On pose pu tu entier nat n>=5, Sn=U5+U6+...+Un,
2)On se propoz de mq la suite (Sn)n>=5 est convergente. [(Sn)n>=5 signifie (Sn)indice n>=5]
a)Montrer par recurrence que , pu tou ent nat n>=5,
Un<=[(3/4)^n-5]*U5 ?
b)Mq ,pu tou ent nat n>=5,
Sn<=[1+3/4+(3/4)²+...+(3/4)^n-1]*U5?
c)En déduire que , pu tou ent nat n>=5,Sn<=4U5?
3)Mq la suite(Sn)n>=5 est croissante et en deduire qu'elle converge?
je bloque à toutes les questions aidez-moi

Answer 1

1)

a)Vn=(n+1)² 2^(n)/n²(2^(n+1))

Vn=(n+1)²/2n²
d'ou
Vn--> 1/2
b)
vu Vn on devrait pouvoir le faire....

n+1>n
(n+1)²>n²

etc...

c)

VN=(N+1)²/2N²<3/4

4(N+1)²<6N²

2N²-8N-4>0

N²-4N-2>0

(N-2)²>6

N-2>sqr(6)
N>2+sqr(6)
d'ou
N=5
d)

donc si n>N

... c'est logique

Sn=U5+U6+...+Un
2)

a) fastoche

U6<3/4U5
U7<(3/4)²U5

et continue par recurrence

b)

tu remplace dans Sn le a)
c)

tu applique la somme d'une suite géo au terme de droite

1-(3/4)^(n-4) U5/(1-3/4)

=

4U5(1-(3/4)^(n-4))

qui tends vers 4U5

l'inégalité etant valable au passage à la limite

3)

donc la suite est majorée...

croissante elle est puisque on ajoute quelquechose de positif

Sn+1=Sn+Un+1 n>N

donc croissante majorée donc convergente

Answer 2

C'est risqué pour Fifty de poser 7 question pendant les fêtes. S'il n'y a pas des bonnes réponses, des points en moins en pespectives. Moi j'ai déjà du mal à aller des euros en francs, avec ses formules, je suis déjà par terre.
On peu à la place, écrire une petite blague. C'est une blonde qui se fait embaucher pour l'été, à la DDE. Elle à comme travail à peindre une ligne blanche continue, sur une route nationale. Le premier jour, elle fait 800 mètres de bande, le lendemain, 450 mètres, le troisième jours, 200 mètres. Le quatrième jours, 50 mètres. Alors, là, elle est convoquer chez le chef de sevice, qui lui demande si c'est trop dur de travailler toute une semaine. Elle lui dit que non. C'est à cause du pôt qui était de plus en plus loin !...

Answer 3

1-a Tu reecris la suite vn (en simplifiant les puissance de 2), ensuite tu as seulement a prouver que la limite de (n+1)^2/n^2=1, pour cela tu developpe (n+1)^2 et ca vient tout seul.

1-b Pour tout entier n non nul vn est non nul. Ensuite tu calcule v(n+1)-vn pour prouver que la suite est decroissante (tu dois trouver qqch de <0). Et tu peux conclure avec 1-a.

1-c Tu resouds vn<3/4. Ce qui est equivalent a 2(n+1)^2<3n^2. C'est une inequation de 2nd degree. Pour simplifier tu resouds de maniere exacte avec des reels, et ensuite tu prends la partie entiere +1 (si la valeur exacte n'est pas entiere) ca c'est a cause de la decroissance. (Tu dois trouver n=5)

1-d Par definition de vn, sachant que un est toujours positif.

2-a Tu prouves pour n=5, ca fait u5=u5 donc c'est evident. Ensuite on suppose la propriete vraie pour n>=5 et on demontre pour n+1. Comme n+1>=5 on peut utiliser 1-c. Ensuite on utilise la propriete au rang n, et c'est demontre.

2-b Par definition de Sn en remplacant un par la valeur decrite en 2-a. Comme on a que des + et des inegalites de type <= ca marche. (Tu peux le comprendre en le faisant pas a pas).

2-c Ca revient a demontrer que:
1+3/4+...+(3/4)^(n-5)<=4 pour n>=5.

3 Calcules s(n+1)-sn, c'est positif donc la suite est croissante. Comme elle est bornee (par 4) elle converge.

Answer 4

Tu as dû te galérer à taper tout ça dis donc !

Le mieux quand on ne sait pas c'est de relire son cours, et si on comprend vraiment pas hé bien on ne fait pas l'exercice ... mais on ne le fait surtout pas faire par les autres, ça n'avance à rien.

Answer 5

Peux tu avoir la politesse élémentaire de reposer ta question clairement et en bon français

Answer 6

Tu t'es vraiment pas fatigué !
Pour 1a), il suffit d'ecrire V(n)=U(n+1)/U(n)=(n+1)²/2^(n+1) * 2^n/n²,
soit après simplification 1/2+1/n+1/2n².
1/n et 1/2n2 tendent vers 0, donc la suite tend vers 1/2.
1b) Vn-1/2 = 1/n + 1/2n2 > 0 donc Vn>1/2
1c)1/2+1/n+1/2n²<3/4, après simplification :
n²-4n-2>0 une des racines est négative -> pas d'intérêt, l'autre vaut 4 et des bananes, donc N vaut 5 vu le sens de variation du polyôme. En remplaçant par 4 et 5 dans l'équation de départ pour vérifier, ça a l'air de gazer. Et au vu de la question 2 aussi.
1d) Là je pense que tu peux le faire ?

Pour la suite il se fait un peu tard...

Refais les calculs, parce que là ça fait 20 ans que j'ai pas touché ce genre de truc ...

Answer 7

arrête de regarder les clips de fifty cents et plonges-toi dans tes cours ... lui est déjà riche, pour toi tout reste à faire.
Bon courage !

Answer 8

C'est relativement simple. La question 1) a) est immédiate, il suffit d'écrire la formule.

Answer 9

Pourtant ça a l'air facile

mais non j'déconnes ;-))

Answer 10

Désolée, mais c'est trop tard pour que mes neurones fonctionnent !