El circulo y los puntos. Para Especiales?

Question

El problema era:
En un circulo de radio R se situan en su interior 100 puntos . Demostrar que al menos mdos de ellos se situan a menos de 2R/9.

La respuesta que yo consegui parte de disponer puntos a distancia de 2R / 9 a partir de uno en el centro del circulo cuyo trazado forme una estructura de triangulos equilateros:
Bueno no dire todo

Answer 1

RESPUESTA:

Basta meter 77 puntos dentro de un círculo para garantizar que al menos dos de ellos se encuentran entre sí a una distancia menor que 2R/9, obviamente, si metes 100 puntos, el resultado está garantizado.

RAZONAMIENTO:

Imaginemos un círculo de radio R con un diámetro horizontal dibujado sobre él. Ese diámetro mide 2R y puede partirse en 9 partes iguales, con lo que se definen 10 puntos igualmente espaciados, mediando entre ellos una distancia de 2R/9. Tomando como punto de partida esos 10 puntos, se puede "tapizar" el círculo con una malla de puntos distribuidos en los vértices de triángulos equiláteros, cuyos lados miden 2R/9. El total de puntos de esa malla triangular que quedan dentro del círculo, o cuando mucho en la frontera del mismo, son 76. Esa malla incluye 122 triángulos completos y 58 triangulos incompletos que se encuentran recortados por la frontera circular, es decir, que el círculo incluye

76 puntos igualmente espaciados, a una distancia 2R/9 y
180 triángulos completos o incompletos

la conclusión es que un punto más caería en alguna de esas 180 regiones triangulares, ya sean completas o incompletas, por lo que forzosamente ese punto adicional, el 77, estaría a una distancia menor que 2R/9 de alguno de los 76 puntos de la malla triangular.

Por otro lado, es necesario estblecer que 76 puntos es el máximo de puntos que pueden quedar dentro del círculo, independientemente de la posición relativa que tenga el círculo con la malla triangular, pues corresponde a aquella posición en la que un diámetro del círculo contiene a la mayor cantidad de puntos posibles que es 10 puntos, dos de los cuales quedarian exactamente en la frontera del círculo. De cualquier otra forma, la cantidad de puntos de la malla triangular dentro del círculo, es menor a 76.

NOTA: Si quieres, escribeme y te mando un documento anexo en el que puedes ver un dibujo con la malla de la que te he hablado en estas líneas.

FELIZ AÑO NUEVO!

Answer 2

pues gracias por la dedicatoria :-))))

esa era una de las opciones que había imaginado, y en ese caso justamente con la distribución de panal (en triangulitos) que la naturaleza descubrió hace millones de años para maximizar la superfice cubierta con un mínimo de separación y recorrido entre nodos ... pues que siempre me sobraban puntos, con simple cálculo mental, es decir, que para ponerlos todos, alguno/s debía/n quedar fuera del esquema de panal, quebrando el criterio de distancias mínimas de separación ... mespliko? :-)))

otra explicación, geométricamente ... si ubicamos los puntos en panal triangular, asumiendo sin demostrarlo que de ese modo se maximizarán las distancias mínimas ... nos quedará un panal de triángulos equiláteros, con líneas trazadas en 3 direcciones ... tomamos una de esas direcciones como base de unión, para generar rombitos, con los triángulos que compartan base mediante segmentos en estas direcciones ... así el panal se transformará en panel de rombitos ...

luego asignamos uno de los vértices de cada rombito (siempre el que esté en la misma orientación, para evitar conflictos, de modo que cada rombito (espacio específico de superficie) quede asignado a un puntito (el vértice que le haya tocado) ...

si el rombito está formado por 2 triángulos equiláteros unidos por su base, su superfie será:

lado ^ 2 * sen 60º, si tomamos como uno de los lados la distancia mínima de 2 * radio / 9, nos quedará algo como

( 2 * radio / 9 ) ^ 2 * sen 60º = radio ^ 2 * 4 / 81 * sen 60º

eso tal cual y sin redondeos nos serviría si el círculo tuviera forma de rombo :-) pero el círculo tiene forma de círculo, asi debe quedarse, y deberemos aceptar qe si ponemos una alfombra o mantel de rombitos sobre ese círculo, algunos rombitos quedarán parcialmente fuera del círculo, aunque seguirán cumpliendo con la regla de las distancias, ya no cumplirán estrictamente con la de las relaciones de cobertura según superficie ...

pero veamos la relación entre la cobertura de esos rombitos y la superficie del círculo, como para tener una idea de cuántos de esos rombitos/puntos entrarían, respetando la regla de distancias ... y nos queda algo como

cobertura rombitos/puntos: radio ^ 2 * 4 / 81 * sen 60º
cobertura círculo completo: radio ^ 2 * PI

cociente (relación) entre ambas coberturas:

PI / ( 4 / 81 * sen 60º ) = 73 (aprox)

con eso ya demostramos, que aun tomando los descartes, que nos dejarían una superficie algo mayor a la real del círculo, de todos modos apenas entrarían unos 73 puntitos respetando la regla de distancias ... pongamos como pongamos el mantelito ...

entonces, no hay modo de lograr poner los 100 puntos, sin quebrar la regla ... esa fue la conclusión que pude sacar en el aire tomando el círculo como superficie y maximizando la cantidad de puntos que respetaran la regla de distancias mínimas entre todo par de ellos ... mespliko? :-)

aplicaciones prácticas de esto, en logística de diseño se me ocurren muchas, cuando hay que ahorrar material, maximizar el aprovechamiento de recursos, etc ...

saludos, abrazotes y felices fiestas, desde san juan, argentina :-)

Answer 3

Hola. Estuve viendo tu problema. Esta muy bueno.

no hay un error en el planteo? no son 91 puntos?

Creo que son 91 che, existe una simple distribucion geométrica de esos puntos. Lo que hay que lograr es ubicarlos lo mas separados posibles entre ellos, lo que te daria la distancia maxima que pueden estar separados uno de otro. Eso se logra pensando que cada uno esta representado por el centro de un circulito, y que en el interior del circulo hay muchos circulitos. En un circulo de radio R entran 91 circulitos de radio r=R/9, con la caracteristica que los circulitos del borde entrarian hasta su centro (o sea, no entran los circulitos por completo pero no nos importa porque quedan los puntos centrales en el borde). Eso es facil de calcular si uno mira como se acoplan los circulitos. Alrededor de 1 se pueden poner 6, alrededor de esos 6, 12, despues 24 y despues 48. La suma daria 1+6+12+24+48=91.

La distancia entre dos puntos es un diametro de los circulitos, o sea 2r. Como r=R/9 se concluye que la distancia entre los puntos es 2R/9

Suerte. Saludos

-Dardo