un problema facil. una oveja pasta atada con un corden de un metro en un poste?

Question

una vez que termina de pastar el circulo al que tiene acceso se la cambia de lugar y se clava el poste en un punto de la circunsferencia del circulo donde estaba pastando.
si comio todo el pasto al que tenia acceso cuantos metros cuadrados pastó

Answer 1

Vamos tienen que dar una mejor explicación que solo colocar un número.

Veamos...

Primeramente la oveja se come un circulo de radio un metro. Por lo tanto se come pi r cuadrada = 3.1416 * 1^2 = 3.1416 m2

Cuando el poste se desplaza a la orilla de la circunferencia tenemos dos ciruclos intersectados ... la oveja se puede comer otro circulo de 3.1416 m2 con excepción de lo que ya se habia comido antes.

¿Cuanto del nuevo circulo es lo que se habia comido antes?

Cuando dos circulos de igual radio se intersectan a una distancia igual al radio, el arco entre los dos puntos de corte es igual a 1/3 de la circunferencia total.

Por lo tanto debemos de calcular el área integrada entre la cuerda y el arco de 1/3 del circulo y restarla dos veces, lo cual corresponde al área entre la intersección de los dos circulos.

Como ya sabemos que el segmento circular corresponde a 1/3 del circulo podemos decir que su área es: 3.1416/3 = 1.047

Ahora debemos restar el área correspondiente al triangulo formado por la cuerda de los dos arcos. Sabemos que la altura del triangulo esta dada por R/2, es decir sabemos que la cuerda corta el radio exactamente por la mitad por que los dos circulos tienen rádios iguales, por lo tanto la altura del triangulo es 0.5

¿Cuanto mide la base del triangulo? o en otras palabras ¿cuanto mide la cuerda formada por los dos puntos de intersección?

Como sabemos que la altura del triangulo es 0.5 y que uno de los costados del triangulo es igual al radio (1) podemos calcular la longitud de la cuerda usando el teorema de Pitagoras, de donde se obtiene:

AB = 2 *(raiz(1^2 - 0.5^2)) = 1.732

Por lo tanto el área del triangulo esta dada por: base por altura / 2
1.732 * 0.5 / 2 = 0.433

Por lo tanto el área comprendida entre la cuerda y el arco del la intersección esta dada por 1.047 - 0.433 = 0.614

Ahora, juntando todo lo anterior tenemos que la oveja se comió:
El área formada por los dos circulos, menos dos veces el área comprendida entre la cuerda y el arco del segmento circular.

(2 * 3.1426) - (2 * 0.614) = 5.0548

Ya alguien habia escrito esta respuesta, pero le faltó explicar como la habia obtenido.

Saludos.

Answer 2

Respuesta: pastó 5,0548 m²
______
Estamos buscando la superficie total resultante de la unión de dos círculos del mismo radio "R" (R = 1 m), de tal forma que el centro de una de las circunferencias forma parte de la otra, y viceversa.
Está claro que tal superficie está en este entorno:
¶ R² < Superficie < 2 ¶ R² ---> 3,14 m² < Superficie < 6,28 m²
______
Si graficamos ambos círculos según:
(1) x² + y² = R²; y
(2) (x - R)² + y² = R²
advertimos que ambas circunferencias se intersectan en "x = R/2" por lo que el "área común" a ambos círculos se puede obtener como el cuádruplo del área del círculo "1" comprendida en el intervalo: R/2 <= x <= R, para ordenadas positivas. Esto es (de "1"):
y = + (R² - x²)^½ (el símbolo "+" implica ordenadas positivas) --->
Área Común = 4 {Integral [(R² - x²)^½] dx} con "R/2 <= x <= R".
______
Resolvemos esta integral mediante la sustitución: "x = R cos u", de donde: dx = -R sen u du. Y los extremos de integración serán:
Para x = R/2 ---> cos u = ½ ---> u = ¶/3
Para x = R ---> cos u = 1 ---> u = 0. Entonces:

Área Común = -4 R {Integral [(R² - R² cos² u)^½] sen u du} con "¶/3 <= u <= 0".
= -4 R² {Integral [(1 - cos² u)^½] sen u du}= -4 R² {Integral [sen² u du] }
Recordemos la propiedad trigonométrica: cos 2u = 1 - 2 sen² u. De donde:
sen² u = ½ (1 - cos 2u) --->
-4 R² {Integral [sen² u du] } = -2 R² {Integral [(1 - cos 2u) du] } =
Área Común = -2 R² {u - ½ sen 2u)} con "¶/3 <= u <= 0", resultando:
Área Común = 2 R² [¶/3 - ½ sen (2¶/3)] = R² [2¶/3 - ½ raiz(3)]
______
Finalmente, el área total será la de los dos círculos menos el área común (pues la estamos contando dos veces):
Área Total = 2 ¶ R² - R² [2¶/3 - ½ raiz(3)] = R² [4¶/3 + ½ raiz(3)]
Como R = 1 metro ---> Área Total = 5,0548 m²
...

Answer 3

4.7124 m2

Saludos Feliz Año Nuevo

Answer 4

3.1416

Answer 5

????????????????????????????

Answer 6

Comió 5,055 m2

Cálculos:

2 . ángulo (triángulo equilátero) â 120º
radior 1m
cuerda 2 . r . sen (ê/2) s = 1,73m2
área sector circunsferencia = 1,05m2 = pixr^2*â/360
área triángulo = 0,43m2 = s x r 0,5/2
Parte ya comida = 2 x área sector circunsferencia - área triángulo = 1,23m2
área 1 círculo = 3,14m2
área 2 círculos = 6,28m2
área 2 círculos - parte ya comida = 5,055m2

Answer 7

5.0548 m2
K

Answer 8

no tengo la menor idea salvo que si el cordel mide un metro el diametro del circulo medira 2 y serian 4 mts. incompletos otro circulo a lado pero atravzando sus centros ambos a la vez, en vez de 8mts menos las esquinas un promedio de 5mts no ? a ojo de buen cubero.

Answer 9

2 MT 2

Answer 10

4.71 m2

Saludos_!