g := x -> x^2*sin(1/x^4) pour x<>0 et g(0)=0
f := x -> somme( g(x-p/q)/|p|!/q!, p=-inf..inf, q=1..inf)
2006-12-22 01:03:59 · 13 réponses · demandé par Francois G 6 dans Sciences et mathématiques ➔ Mathématiques
f est la série double de terme général g(x-p/q) / (|p|!*q!) pour p allant de -infini à + infini et q allant de 1 à +infini
2006-12-22 04:46:30 · update #1
La fonction est parfaitement définie. Chaque fonction x -> g(x-p/q)/|p|!/q!, est dérivable. parce que g est dérivable. En dehors de 0, c'est évident par les formules classiques et en 0 il faut revenir à la définition et remarquer que (g(x)/x) tend vers 0 en 0 car le sinus est borné. Pour affirmer directement que la somme d'une série est dérivable, il faut savoir que la série des fonction dérivées converge uniformément, ce qui ne semble pas être le cas. En tous cas ceci n'est pas un exo de terminale...
Pour trash: " Pour affirmer directement que la somme d'une série est dérivable," ne signifie nullement que c'est une condition nécessaire, seulement que dans le cas contraire, on n'est pas tiré d'affaire.
Pour trash bis quand je dis IL FAUT, je précise "pour affirmer directement que bla bla bla" et non pas "pour que bla bla bla". Tu vois la nuance? Pour ton contre-exemple
prends la série de fonctions
f_n(x)= (cos ((n+1)x))/(n+1) - (cos nx ) / n n>0
La somme est dérivable S'(x)=sin x mais les dérivées
f'_n(x)= sin (nx) - sin( (n+1) x) ne forment une série uniformément convergente sur aucun intervalle. Ça te va?
2006-12-22 01:41:35 · answer #1 · answered by gianlino 7 · 3⤊ 1⤋
petite correction pour gianlino : il SUFFIT de savoir que ca converge uniformement. Existe t'il des series de fonctions derivables qui ne convergent pas uniformement, mais seulement simplement, dont la limite est quand meme derivable ?
pour gianlino : pas de ma faute si tu as ecrit : il FAUT savoir que...
cela dit, c'etait plus parce que je voulais savoir si tu avais un exemple correspondant a ma question. je sais bien que tu ne voulais pas dire condition necessaire.
2006-12-22 11:38:14 · answer #2 · answered by trash k 2 · 0⤊ 0⤋
Pas clair ton énoncé...
g est dérivable sur R, pas de doute.
Mais qu'est-ce que ton inf?
S'il est fini, alors ta somme dans f est finie, donc f est dérivable sur R en tant que somme de fonctions dérivables.
Si inf=+oo, il faut faire une étude plus poussée, et honnêtement, je sors d'une semaine complète de partiels donc j'ai un peu la flemme... pour dire qu'elle est dérivable, il suffirait de prouver sa convergence uniforme sur R, mais là à vue d'oeil je ne saurais pas te dire si elle converge uniformément ou pas.
2006-12-22 12:01:16 · answer #3 · answered by rodgeur 3 · 0⤊ 1⤋
g est dérivable
2006-12-22 12:20:11 · answer #4 · answered by Ditou 2 · 0⤊ 2⤋
la fonction n'est pas claire
2006-12-22 12:07:37 · answer #5 · answered by dekouess 2 · 0⤊ 2⤋
La fonction g ne me semble pas très bien définie. Sois plus clair si tu veux qu'on t'aide
2006-12-22 09:20:11 · answer #6 · answered by lilmoon 2 · 0⤊ 2⤋
Pourquoi mets tu une valeur absolue a p!, je te signale que le factoriel n'est valable que pour les entiers !
p/q est une indetermination! car étant définit sur p ]-inf..+inf[
q ] 1.. + inf[
sinon, la dérivée d'une somme, est la somme des dérivées!
la fct g est dérivable sur R
donc pas de soucie.
2006-12-22 09:17:45 · answer #7 · answered by sam 2 · 0⤊ 3⤋
x au carré si tu dérives ça donne 2X, et sin ça donne cos, et 1/x^4 ça doit bien se dériver aussi :p
2006-12-22 09:16:16 · answer #8 · answered by neby_fac 2 · 1⤊ 4⤋
qui que quoi dont o^ù
2006-12-22 09:06:29 · answer #9 · answered by lady jane 5 · 1⤊ 4⤋
Tu ne peux pas faire tes devoirs tout seul?
2006-12-22 09:04:59 · answer #10 · answered by petitesophie83 5 · 0⤊ 3⤋