In einer Urne befinden sich eine blaue und eine rote Kugel. Diese werden gezogen und danach wieder zurück gelegt. Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst 6 mal häufiger die blaue Kugel gezogen wird (z. B. 9 blaue, 3 rote) gegenüber der Wahrscheinlichkeit, dass zuerst dreimal häufiger die rote Kugel gezogen wird (z.B. 13 mal rot, 10 mal blau) ? Mich würde neben dem Ergebnis natürlich der Lösungsweg interessieren.
2006-12-20 18:16:43 · 8 antworten · gefragt von Anonymous in Wissenschaft & Mathematik ➔ Mathematik
Das ist nicht für die Schule. Mein Schul- und Studienzeit ist schon lange her. Normalerweise stoße ich auch nicht auf derartige Problemstellungen. Wenn das wirklich so einfach ist, dann kannst Du mir den Lösungsansatz ja verraten.
2006-12-20 19:52:40 · update #1
Ok, ich habe es in der Tat mißverständlich formuliert. Ich möchte die Wahrscheinlichkeit dafür wissen, dass 6 Stück (z.B. 9 blaue zu 3 rote oder 45 blaue zu 39 rote) blaue Kugeln mehr gezogen werden als 3 Stück (z.B. 13 rote zu 10 blaue oder 5 rote zu 2 blaue) rote Kugeln. Ich meine die Differenz !
Ich meinte also "mal" nicht im Sinne von "multiplizieren".
2006-12-21 01:08:36 · update #2
genauso habe ich die frage gemeint grothey.
ich denke mal, deine antwort ist falsch. auf alle fälle ist es nicht das, was ich wissen möchte.
wenn 3 Kugeln gezogen werden, liegt die Wahrscheinlichkeit für 3 rote kugel bei 12,5 %, bei 6 gezogenen kugeln beträgt w für 6 blaue kugeln 1,5625%. Die Einzelwahrscheinlichkeiten kann ich (allerdings nur mit Excel) berechnen, z.B. liegt w für ein 9:3 Verhältnis nach 12 Ziehungen bei etwa 5%. Ich suche aber die Gesamtwahrscheinlichkeiten, dass das eine oder andere Ereignis eintritt.
2006-12-21 06:18:25 · update #3
hab ich auch alles mal gelernt und in meinem ganzen leben KEIN EINZIGES mal benötigt. da sieht man mal, was man für einen schwachsinn in der schule lernt, der absolut weltfremd ist!
das brauchen doch sicher keine 5 % der leute, die das mal gelernt haben, im leben.
2006-12-20 21:13:24 · answer #1 · answered by Anonymous · 2⤊ 1⤋
Ich probiere es mal.
Meine Annahme ist, daß die Verteilung Symmetrisch ist.
Wann der Fall eintritt daß eine Mehrheit da ist, ist mir egal.
D.h. Wenn ich z.b. keine Kugelmehrheit habe ist die Wahrscheinlichkeit zurerst drei blaue Kugeln zu bekommen gleich der drei rote zu bekommen - mir ist dabei egal wann das passiert.
D.h. P(3R)=P(3B)=50%
Jetzt ist aber die Frage nach 6 blauen Kugeln.
Meine Annahme ist aber wieder die gleiche. D.h. es ist in einer Situation gleich wahrscheinlich 3 Rote oder 3 Blaue mehr zu ziehen. In dem einem Fall habe ich 6 Blaue gezogen in dem anderen Fall habe ich wieder ein unentschieden.
II P3B(6B) = P3B(0) = 50%
Das heißt ich nach der ersten "Zwischenstufe"
eine Wahrscheinlichkeit habe
50% 3 Rote zu ziehen
50% in Situation II zu sein und damit
25% 6 Blaue zu haben und zu
25% wieder in der Situation vom Anfang zu sein.
Kann dann beliebig weiter machen
D.h. die Verteilung 3 Rote zu 6 Blaue ist 50:25 und damit 2:1
Die Wahrscheinlichkeit 3 Rote zu ziehen ist 66%, die 6 Blaue 33%.
2006-12-24 04:08:48 · answer #2 · answered by Christian 3 · 0⤊ 0⤋
Darf man mal zurück fragen: wo kommt die Frage her?
Sieht nach 'ner Motivationsaufgabe für Markovketten aus.
Die Aufgabenstellund ist etwas unklar, ich formulier die mal um: so wie ich das verstehe kann man das ganze als Spiel auffassen: zwei Spieler A und B. Wenn blau gezogen wird kriegt A einen Punkt, wenn ror gezogen wird B. Das Spiel endet wenn entweder A 6P mehr als B hat (A gewinnt), oder wenn B 3P mehr als A hat (B gewinnt). Gefragt sind die Gewinnwahrscheinlichkeiten für A,B.
Stimmt das?
Also sei P[n] der Punktstand (Punkte A - Punkte B) nach n Runden.
p[n,i] = p(P[n]=i) die wahrscheinlichkeit das der Punktstand nach n Runden gleich i ist.
sei p[n] = (p[n,-3], p[n,-2], ...,p[n,6]) der Vektor der Einzelwahrscheinlichkeiten nach der n-ten Runde. (Wir sind nur in Punktstände zwischen -3 und 6 interessiert).
Wenn man die Matrix A = (a[i,j]) der Übergangswahrscheinlichkeiten bildet:
a[i,j] = n(P[n]=j|P[n-1]=i) - wahrscheinlichkeit das wenn der Punktstand nach n-1 Runden i ist, er nach n Runden j ist. (Also z.b. a[1,2] = 0.5, a[1,1] = 0, a[-3,-3] = 1 - Spiel endet bei Punktstand -3), dann gilt
p[n] = A*p[n-1]
und daher
p[n] = (A^n)*p[0]
sowas nennt man eine Markovkette. Bleibt also noch die Matrix A aufzustellen, und zu sehen wohin A^n konvergiert. Dann kann man die gesuchten Wahrscheinlichkeiten ablesen
Ich hab das mal numerisch gemacht und komm darauf (n=100) gibt recht genaue Werte, das
A mit 1/3 und B mit 2/3 Wahrscheinlichkeit gewinnt. Oder 6 blaue mehr ist halb so wahrscheinlich wie 3 rote mehr.
Sieht j so aus als ob das auch einfacher gehen müsste, aber wie?
PS:
Ich denke schon, dass das ist was du wissen wolltest. Die p=66% ist die Gesammtwahrscheinlichkeit für alle Serien bei denen B gewinnt: also die 12.5% für RRR, die (jeweils) 3.125% für RBRRR, RRBRR, BRRRR, usw.
2006-12-21 09:12:42 · answer #3 · answered by grothey 1 · 0⤊ 0⤋
kleiner fehler in der frage bzw absolut falsch formuliert
6mal häufiger wäre 18 blau 3 rot (9 zu 3 ist 3mal)
3mal häufiger wäre 30 rot 10 blau
2006-12-21 08:36:08 · answer #4 · answered by kapovaz 6 · 0⤊ 0⤋
wenn von jeder kugel nur eine in der Urne ist ist die wahrscheinlichkeit 50-50 ganz logisch muss man nicht mehr dazu sagen denn den Rest erledigt das schicksal oder auch der Zufall das ist ein rechnung die man nicht mit Mathematik lösen kann.
2006-12-21 04:23:51 · answer #5 · answered by Phoenix 1 · 0⤊ 0⤋
Zu der Situation, die du in der Überschrift beschreibst:
Es befinden sich eine blaue und eine rote Kugel in der Urne.
Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit eine blaue Kugel zu ziehen 0,5. Legt man die Kugel zurück und möchte wieder eine blaue Kugel ziehen, beträgt die Wahrscheinlichkeit wieder 0,5. Zusammen mit der ersten Ziehung beträgt die gesamte Wahrscheinlichkeit zweimal nacheinander die blaue Kugel zu ziehen: 0,5 x 0,5 = 0,25.
Also allgemein: 0,5^n , wenn n die Zahl der Ziehungsversuche ist.
2006-12-21 02:52:07 · answer #6 · answered by Holgi 2 · 1⤊ 1⤋
Das kann man ohne Formeln auf einen ganz kurzen Nenner bringen.
SEHR GERING!
2006-12-21 04:41:50 · answer #7 · answered by Gnurpel 7 · 0⤊ 1⤋
ohne dir zu nahe treten zu wollen aber falls das für die schule ist solltest du dir dein mathebuch mal genauer angucken
das sind die absoluten grundlagen für Stochastik
wenn du dabei probleme hast würst du zukünftig wohl keine aufgabe lösen können
2006-12-21 03:36:00 · answer #8 · answered by Anonymous · 0⤊ 1⤋