.
A l'école française, on m'a appris qu'un nombre tel que 1,8585858585... pouvait s'exprimer sous forme fractionnaire:
x = 1,85858585...
100x = 185,85858585...
100x - x = 184 = 99x,
d'où x = 184/99 = 1,85858585...
---
Je pensais que cette méthode pouvait s'appliquer pour tout réel dont les décimales se répétent dans la même séquence à l' "infini".
Mais problème: cette méthode semble ne pas fonctionner pour les réels du type x,99999999... (x entier relatif).
Exemple:
x = 1,999999...
10x = 19,999999...
10x - x = 18 = 9x, d'où x = 2 !!!!!!!
Idem si je prends 100x = 199,999999...
100x - x = 198 = 99x, d'où x = 2.
Que se passe-t-il? Où est l'erreur de raisonnement?
"1,999999..." n'est quand-même pas rigoureusement égal à "2", non?
Merci pour votre aide :-)
.
2006-12-20 05:15:36 · 13 réponses · demandé par Axel ∇ 5 dans Sciences et mathématiques ➔ Mathématiques
Y a-t-il un cas particulier pour les nombres du type x,999999... qui ne seraient pas des nombres rationnels? En ce cas, pourquoi "permettraient"-ils de se laisser exprimer sous une forme fractionnaire apparemment cohérente? S'ils étaient vraiment irrationnels, ils ne pourraient même pas être intégrés dans la méthode simple d'expression fractionnaire. Je ne comprends pas où le raisonnement flanche...
2006-12-20 05:20:44 · update #1
Les suites infinies de 9 dans une écriture décimale sont ce qu'on appelle une écriture impropre. On les élimine par convention pour assurer une et une seule écriture décimale à chaque nombre. Cette écriture est appelée l'écriture propre d'un nombre.
Une écriture décimale correspond à un nombre x si et seulement si la suite des troncatures (la partie entière, puis une décimale après la virgule, etc.) tend vers le nombre en question.
Pour 2,5 par exemple, deux écritures conviennent: 2,500000000... et 2,4999999....
L'écriture propre d'un nombre x est celle qui s'obtient en calculant les décimales de la façon suivante: si les k premières décimales sont connues (on appellera xk le nombre qu'elles représentent), alors la (k+1)-ième décimale est la partie entière de 10^(k+2).(x - xk)
Le type de problème que tu signales ne se produit que pour des suites infinies de 9.
2006-12-20 05:35:52 · answer #1 · answered by italixy 5 · 3⤊ 1⤋
0.9999999 est rigoureusement égal à 1 ;-) (et de là 1.9999999 rigoureusement égal à 2 en ajoutant 1 des deux côtés)
Demonstration:
1= 3* 1/3
Or 1/3= 0.3333333333333...
Donc 1=0.99999999999...
2006-12-21 04:23:10 · answer #2 · answered by -O- 7 · 2⤊ 0⤋
non en fait, tu ne fait pas d'erreur dans ton raisonnement jusqu'a ce que tu dises 1,999999 n'est pas egal a 2.
Le fait est que lorsque tu utilises l'ecriture decimale d'un nombre (en fait, c'est vrai pour tout type de numeration: diadique, triadique,...) Il existe des nombre qui admettent 2 ecritures differentes.
Pour les nombre ecrit en base 10 (en base b), il s'agit de tout les nombre dont l'ecriture est periodique a partir d'un certain rang et où l'on a tout les temps 9 (en base b, où il y a repetition de b-1)
Donc en base 10: 0,99999...=1
En base 2: 0,1111111...=1
En base 3: 0,2222222...=1
2006-12-20 13:34:32 · answer #3 · answered by Guillaume 3 · 4⤊ 2⤋
Il n'y a pas derreur,
1,9999999999999 ........... = 2
2006-12-21 19:08:05 · answer #4 · answered by Leen 3 · 1⤊ 0⤋
Bien sûr 1,99999999... = 2 (l'égalité est rigoureusement démontrable de manière mathématique => voir les réponses plus haut). Une personne qui a posé la même question sur Yahoo Q/R il y a quelques semaines a eu moins de chance que toi et a reçu quantité de réponses fausses, la question étant fermée avant que j'ai le temps d'y répondre...
Evidemment 2 est rationnel donc pas de problème.
2006-12-21 15:37:23 · answer #5 · answered by Francelibre 5 · 2⤊ 1⤋
Merci pour ta question qui m'a permis de revoir de des notions sur les nombres que j'avais oublié depuis longtemps.
2006-12-21 03:31:08 · answer #6 · answered by jean T 3 · 1⤊ 0⤋
Oui, 1.99999999... (nombre infini de décimales) est rigoureusement égal a 2.
Écrire un nombre entier avec une suite infinie de décimales revient en fait a décrire une limite. On montre, comme tu le fais, que lorsque ces décimales sont périodiques la limite est un nombre rationnel.
Par exemple pour 1,85858... (nombre infini de décimales) on considère en fait la suite de nombre réels 1.85 1,8585 1.858585 etc a nombre de décimales fini, qui TEND vers 184/99 mais ne l'atteint jamais.
De la même façon, la suite 1.9 1,99 1,999 etc TEND vers 2 sans jamais l'atteindre.
Quand on écrit 1,99999... (nombre infini de décimales) on définit la limite de cette suite, qui est effectivement 2.
2006-12-20 14:14:09 · answer #7 · answered by Genus Rosa 2 · 2⤊ 1⤋
C'est l'un des défauts visibles de l'ensemble N des entier qu'on considère comme INFINI (parfait)
2006-12-21 04:18:09 · answer #8 · answered by abdelkader l 1 · 0⤊ 1⤋
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_rationnel
Tout est expliqué la!!!
je vais pas faire copier coller ca sert a rien
2006-12-20 13:58:26 · answer #9 · answered by Docteur Space 3 · 1⤊ 2⤋
Tu pourrais dire, plus modestement, "me semble incohérente", puis étudier un peu, puis voir ce que ton étude + réflexion donne... Un peu facile de mettre quelque chose que l'on ne comprend pas sur le dos de tout le monde...
2006-12-20 20:19:41 · answer #10 · answered by Obelix 7 · 0⤊ 2⤋