Suite aléatoire . Quelle est sa limite?

Question

La suite est définie ainsi: u(0)= 0, u(1) est un réel aléatoire de l'intervalle ]0;1[, u(2) est unréel aléatoire de ]u(1);1[,......., u(n+1) est un réel aléatoire de ]u(n);1[ pour tout n. Il est clair que cette suite converge(croissante et majorée). Pourquoi peut-on affirmer que la probabilité que cette suite ait pour limite 1 est 1?

GUILLAUME je me sers de la loi uniforme. Réel aléatoire veut dire que tous les réels ont la même probabilité d'être choisis. Ou encore la proba que le réel appartienne à un segment donné est proportionnelle à la longueur du segment.

Pour GUILLAUME et GIANLINO
Je démontre par l'absurde en supposant qu'elle tend vers L < 1. Le segment [L;1] a une longueur constante, alors que les segments [u(n); L]...Pouvez-vous me dire si je fais erreur de raisonnement?(ou m'envoyer un e-mail)

Answer 1

cela depend de la loi de probabilite que tu utilises a chaque coups

Si tu utilises toujours la meme loi sur ]0,1[ et que tu l'envoie sur [u(n),1] par l'application x-> u(n) + (1-u(n))x alors la limite sera presque surement 1 (c'est a dire, la probabilite que la limite soit 1 est 1).
le fait que la loi soit sur ]0,1[ ouvert en 0 est important. sinon, il faut demander que la loi de proba ne soit pas un dirac en 0

Mais tu pourrais tres bien choisir des lois differentes qui fassent que la probabilite que la limite soit strictement inferieure a 1 soit 1
(par exemple: tu utilises toujours la meme loi sur ]0,1[ et que tu l'envoie sur [u(n),1] par l'application x -> u(n) + 4^-n (1-u(n))x)



Le cas d'une loi uniforme sur ]u(n),1[ est un cas particulier de mon premier cas. En effet, si X verifie une loi uniforme sur ]0,1[ alors u(n)+(1-u(n))X verifie une loi uniforme sur ]u(n),1[

Answer 2

J'ai pas bien compris ta demonstration par l'absurde.

Si c'est ce que j'ai compris, alors : il est possible en effet qu'une suite particulière (en fait une infinité d'entre elles) contiennent tous leurs membres en dessous d'un L<1. Mais la mesure de cet ensemble par rapport a toutes les suites possible sera nulle. En proba, des qu'on est en continu, une probabilite de 1 n'est pas une garantie que rien d'autre ne peut se passer. C'est la garantie que l'ensemble des choses qui ne vont se passer "normalement" est de mesure nulle dans l'ensemble de toutes les configurations.

Ici, pour que tous soient < L, il faut qu'a partir d'un moment le rapport (Un+1-Un)/(1-Un) va converger vers 0. Dans le cas "normal", (Un+1-Un)/(1-Un) est une variable aleatoire qui realise un nombre entre 0 et 1, sans tendre vers 0. Ainsi ton cas particulier est de esure nulle, parce qu'il suppose que la suite aleatoire tende vers une valeur, ce qui a une probabilite 0 de se produire (mais qui n'est pas impossible).

J'espere que j'avais compris ta question.

Et sinon pour une autre de tes questions, le japonais est tres proche du turc aussi, j'avais une amie turque qui enseignait cette langue au japon, elle me disait que c'etait tres facile a enseigner car la grammaire est quasiment la meme. Certains chercheurs pensent qu'elles ont une origine commune, venant de dialectes mongols je crois, mais rien ne l'atteste completement.

Answer 3

Il est clair que Esp(u_{n+1})=( Esp( u_n) + 1) /.2. Donc Esp (lim u_n)= ( Esp(lim u_n) + 1) / 2., Donc Esp (lim u_n)= 1 et comme lim u_n <= 1, on en conclut que lim u_n = 1 presque sûrement.

Answer 4

Tu restes dans l'intervalle ]0, 1[. Chaque fois qu'un terme aléatoire dans ce domaine est > à un terme précédent, il le remplace pour ta limite. On arrive aussi près que l'on veut (tu connais la formulation) de 1 (malgré que l'intervalle est ouvert à droite). Ainsi la limite vaut 1.