Analisis Matemático?

Question

sea f: [0, + infinito), a que tiende el límite de f(x) si

lim x. f(x) = 3
x→infinito


Demostrar que f(x) tiene un maximo o mínimo relativo o absoluto.


saqué la primera parte pero lo de los extremos me rompió la cabeza. Si alguién sabe como demostrarlo, mil gracias.

Saludos

No tengo que hacer ninguna tarea, simplemente encuentro ejercicios de matemática y me pongo a hacerlos por placer, pero este particularmente no me salió, y como verás no me gusta quedarme con ejercicios sin resolver.
por suerte la facultad ya la terminé y me fue muy bien.
antes que denigrarte y contestar por ganarte dos miserables puntos, andá a hacerlo a otra sección que se preguntan bastantes vasnalidades!!!

Saludos y si no sabés, no te metas.
Gracias y perdón por si suena un poco agresivo, pero me cansan ese tipo de respuestas y los dos puntos te los mereces por eso

Answer 1

Afrodita:
Tu pregunta es muy interesante. Sin embargo creo que tiene un error, de cualquier forma aquí esta mi respuesta y el análisis de tu error para que lo tomes en cuenta.

f debe de ser una función continua en el dominio. Un claro contraejemplo de tu resultado es que si f:[0, ∞)→R tal que f(x) sea 3/(x-1) si x es distinto de uno y 0 si x es uno, entonces el limite cuando x tienda a infinito de 3x/(x-1) es tres, pero la función f(x) no tiene ni un máximo ni un mínimo global pues cuando se acerca por la derecha a uno tiende a infinito y por la izquierda a menos infinito. Claramente esto pasa pues la función no es continua en 1 aunque 1 si está en su dominio f(1)=0.
Ahora supongamos que f(x) es continua en [0, ∞)

Entonces como
lim x. f(x) = 3
x→∞

Dado M>0 existe ε>0 tal que

| x f(x) – 3 | < ε si x >M

es decir
-ε < x f(x) – 3 < ε si x > M
o bien
3 – ε < x f(x) < ε + 3 si x > M
entonces
(3 – ε )/x < f(x) < (ε + 3)/x si x > M o bien 0 < 1/x < 1/M
0 < (3 – ε )/x < f(x) < (ε + 3)/x < (ε + 3)/M
por lo que 0 < f(x) < (ε + 3)/M si x>M

como f(x) es continua entonces f(x) esta acotada en el intervalo cerrado [0, M] así
-K < f(x) < K para 0 por lo que –K < f(x) < máx{(ε + 3)/M, K} con x en [0, ∞)
Como f(x) esta acotada y al ser continua entonces tiene un máximo local y un mínimo local. Así lo demostramos.
Además como
(3 – ε )/x < f(x) < (ε + 3)/x si x > M
por la ley del emparedado, como tanto (3 – ε )/x cómo (ε + 3)/x tienden a cero si x tiende a infinito, entonces f(x) tiende a cero.

Answer 2

No sé si estaré en lo cierto pero para que el lim x.f(x) =3 cuando x tiende a infinito f(x ) podría ser una función racional cuyo numerador tenga un grado menos que el denominador y tla que el cociente de los coeficientes principales sea 3. Entonces al multiplicar el numerador por x quedan numerador y denominador del mismo grado y en ese caso el límite daría tres.
Por lo tanto si el grado del numerador de f, es un grado menos que el del denominador, f(x) tiende a infinito

Ejemplo: f(x) = (6x2 - 3x+2) / (2 x^3 -6x+8)

lim x*(6x2 - 3x+2) / (2 x^3 -6x+8) =
x->inf



Dividiendo numerador y denominador por x^3, queda

lim ( 6X^3 -3x^2 + 2x ) / (2 x^3 -6x+8) =
x-> inf

Ahora, cuando x--> infinito 3/x., 2/x^2 , 6/x^2 y 8/x^3 tienden a cero y por lo tanto

lim ( 6X^3 -3x^2 + 2x ) / (2 x^3 -6x+8) = 6/2 = 3
x-> inf