Peut-on toujours extraire une sous-suite monotone d'une suite quelconque ?

Question

Il s'agit de suites et de sous-suites réelles et infinies !
"monotone" est à prendre au sens large.

Answer 1

Soit u une suite réelle.
Si elle est non bornée, on définit la suite extraite de la façon suivante:
v(0)=u(0)
Soit n un nombre entier positif ou nul. Supposons que v(n) existe
Comme v est extraite de u il existe m un nombre entier positif ou nul tel que v(n)=u(m). Comme u est non bornée il existe l>m tel que u(l)>u(m).
Posons alors v(n+1)=u(l)
v(n) ainsi définie pour tout n est une suite extraite de u strictement croissante.

Considérons maintenant le cas ou u est bornée et possède une limite a l'infini. Il y a forcement une infinité de points qui sont tous soit supérieurs, soit égaux, soit inférieurs a la limite.
Si il y a un infinité de point égaux a la limite, on en fait une suite constante (donc monotone)
Si il y a une infinité de points strictement supérieurs a la limite, soit m0 ce premier point, et posons v(0)=u(m0)
Supposons que v(n) est défini et strictement supérieur a L.
Soit m tel que v(n)=u(m). Comme u converge vers L et qu'il y a une infinité de points strictement supérieurs L, il existe l>m tel que u(m) Posons alors v(n+1)=v(l)
Ainsi définie v est une suite extraite de u strictement décroissante.
De la même façon si il y a une infinité de points strictement inférieurs a la limite on peut extraire une suite strictement croissante.

Nous voila donc amenés au cas ou u admet une borne supérieure M est ne possède aucune limite a l'infini. J'utiliserais le raisonnement par l'absurde suivant (a formaliser) : Si il n'existait aucune suite extraite convergente on pourrait trouver un epsilon tel qu'il n'y ait qu'un nombre fini de points de u dans chaque intervalle fermé de taille epsilon. u étant bornée on peut recouvrir l'ensemble de la suite par un nombre fini d'intervalles de taille epsilon, donc u a un nombre fini de points ce qui et absurde.
(On peut aussi raisonner, et c'est peut etre plus simple, par dichotomie : soit I et S les bornes inferieures et superieures de u. Soit M=(S-I)/2. L'un des deux intervalles [I,M] et [M,S] contient un nombre infini de points de u. On coupe a nouveau l'intervalle en question en deux, et on choisit celles des deux moities dans laquelle il y a un nombre infini de points de u. Ainsi on obtient un nombre infini de points de u dans un intervalle arbitrairement petit, ce qui prouve qu'il existe une sous-suite convergente.)
Il existe donc une suite extraite convergente, dont on peut ensuite extraire une suite monotone.

La reponse est donc oui!
Hmmm... il doit y avoir plus simple.... :$

Cher Rodgeur: sup u(k), k>n n'est pas forcement atteint par la suite, donc on ne peut pas l'utiliser pour definir une suite extraite
Cher Gianlino: Encore faut il prouver que toute suite bornee a une valeur d'adherence... Si tu l'admet tu gaches tout l'interet de la question... :) D'ailleurs la suite 1/(u(n)-m) n'est pas definie quand u(n)-m = 0 ...

Answer 2

Si la suite est non bornée elle a une sous-suite qui tend vers +infini ou -infini. On peut la supposer monotone on peut même supposer que |u_{n+1}|>2|u_n|. Si elle est bornée, elle a une valeur d'adhérence m. Il suffit de considérer la suite v_n=1/{u_n - m} La suite v_n est non bornée et possède une sous suite monotone tendant vers +infini ou -infini. On peut la relever en une sous-suite monotone de u_n.

Answer 3

Oui (si on considère que la suite est réelle, sinon il te faut définir une relation d'ordre sur C) :

- Si ta suite n'est pas bornée, alors tu peux nécéssairement extraire une sous-suite qui tend vers +oo ou -oo. Dans ce cas, tu peux retirer à cette sous-suite les termes qui font qu'elles n'est pas monotone : du fait de sa limite, alors il restera encore un nombre infini de termes dans ta suite. Ta sous-suite est donc monotone.

- Si ta suite est bornée : si u est ta suite, alors posons v(n)=sup u(k) pour k>=n. Ce sup existe pour tout n (car on a pris une suite bornée), et à l'évidence v(n) est décroissante (puisqu'on réduit à chaque terme l'ensemble sur lequel on prend la borne sup). On a donc bien trouvé une sous-suite monotone.

Answer 4

Si tu prends une suite complexe sur le cercle unité.
u(n)=e^(i*n*pi*(racine(2))
Cette suite devrait être dense sur le cercle.
Je ne voit pas comment tu extrais une suite monotone