2006-12-19 09:26:52 · 2 respuestas · pregunta de nenita 1 en Ciencias y matemáticas ➔ Matemáticas
RESUMEN:
"un numero es multiplo de 2 si su ultimo digito es par"
"un numero es multiplo de 3 si la suma de sus digitos es multiplo de 3"
"un numero es divisible por 5 si su ultimo digito es 0 o 5"
"un numero es divisible por 7, si restando 2 veces el ultimo digito al numero formado con los digitos anteriores, obtenemos tambien un multiplo de 7"
RAZONAMIENTOS:
Sea a un entero positivo, expresado en potencias de 10 queda:
a = 10^r d(r) +... + 10 d(1) + d(0)
en donde d(s), s=0, 1, ..., r, son los dígitos de a, especialmente
d(0) es lo que conocemos como "el ultimo digito de a"
divisibilidad entre 2:
Para saber si a es multiplo de 2, debe satisfacer la congruencia
a = 0 mod 2
pero 10^s es multiplo de 2, para s=1, 2, ..., r, por lo que a puede escribirse en la forma
a = 2k + d(0)
y la congruencia a resolver queda
2k + d(0) = 0 mod 2
d(0) = 0 mod 2
d(0) es multiplo de 2
d(0) es par
lo que significa simplemente que
"a es multiplo de 2 si su ultimo digito es par"
Divisibilidad entre 3:
como 10 = 1 + 9, las potencias 10^s, con s=1, 2, ..., r son de la forma
10^s = (1+9)^s = 1 + 9k
en donde el término 9k incluye todas las potencias crecientes de 9 y por lo tanto tiene a 9 como factor, de manera que a se puede escribir en la forma
a
= (1+9k(r)) d(r) + ... + (1+9k(1)) d(1) + d(0)
= d(r)+...+d(1)+d(0) + 9k
y la congruencia a resolver
a = 0 mod 3
se transforma en
d(r)+...+d(1)+d(0) + 9k = 0 mod 3
d(r)+...+d(1)+d(0) = 0 mod 3
d(r)+...+d(1)+d(0) es multiplo de 3
es decir que
"un numero es multiplo de 3 si la suma de sus digitos es multiplo de 3"
el argumento anterior se puede aplicar recursivamente, reduciendo la suma, si es que sale de mas de un digito a otra suma, etc. hasta que solo quede un digito multiplo de 3.
Divisibilidad entre 5:
10 = 2×5
por lo tanto
10^s es multiplo de 5, para s=1, 2, ..., r
por lo que a puede escribirse en la forma
a = 5k + d(0)
y la congruencia a resolver
a = 0 mod 5
se transforma en
5k + d(0) = 0 mod 5
d(0) = 0 mod 5
d(0) es multiplo de 5
d(0) es 0 o es 5
por lo tanto
"un numero es divisible por 5 si su ultimo digito es 0 o 5"
Divisibilidad entre 7:
Como no existe una relación estable entre las potencias de 10 y el 7, es necesario desarrollar otro criterio de divisibilidad. Pensemos que a se puede separar en sus primeros digitos y el ultimo:
a = 10q + d
en donde
q es el numero formado por los primeros digitos de a y
d es el ultimo digito. Tenemos así
q = (a-d) / 10
Suponemos que a es multiplo de 7 y nos hacemos la siguiente pregunta: ¿cuantas veces debemos restarle a q el ultimo digito, para obtener tambien un multiplo de 7? Es decir, ¿cuanto debe valer x para que
q-xd = (a-d) / 10 - xd = (a-d-10xd) / 10 = (a-d(1+10x)) / 10
siga siendo multiplo de 7?
Como a es multiplo de 7 podemos escribir
q-xd = (7k-d(1+10x)) / 10
y razonamos lo siguiente:
7k-d(1+10x) es multiplo de 10, puesto que q-xd es entero. Queremos que 7k-d(1+10x) tambien sea multiplo de 7, para que
q-xd lo sea y la unica forma de lograr esto es haciendo que
1+10x sea multiplo de 7 (** ver nota al final)
como los numeros 10x pueden ser
10, 20, 30, 40, ...
1+10x toma los valores
11, 21, 31, 41, ...
y resulta claro que x=2 resuelve el problema, porque 1+10×2 = 21 es multiplo de 7.
De lo anterior tenemos el siguiente criterio:
"un numero es divisible por 7, si restando 2 veces el ultimo digito al numero formado con los digitos anteriores, obtenemos tambien un multiplo de 7"
Este razonamiento también es recursivo y puede aplicarse repetidamente sobre el nuevo numero obtenido, hasta que se vea con claridad el resultado.
EJEMPLOS:
23657 no es multiplo de 2, porque 7 no lo es.
23657 no es multiplo de 3, porque la suma
2+3+6+5+7=23, luego entonces la suma
2+3=5 no es multiplo de 3
23657 no es multiplo de 5 porque 7 no lo es
23657 no es multiplo de 7 porque el numero
2365-2×7 = 2351, luego entonces el numero
235-2×1 = 233, luego entonces el numero
23-2×3 = 17 no es multiplo de 7.
30030 es multiplo de 2 porque su ultimo digito 0 es par,
30030 es multiplo de 3 porque la suma
3+0+0+3+0=6 es multiplo de 3
30030 es multiplo de 5 porque su ultimo digito 0 es multiplo de 5
30030 es multiplo de 7 porque la expresion
3003-2×0 = 3003, luego entonces la expresion
300-2×3 = 294, luego entonces la expresion
29-2×4 = 21 es multiplo de 7.
(**) NOTA:
Este problema da lugar a la congruencia
1+10x = 0 mod 7
que se puede resolver por las tecnicas tradicionales, pero le di la vuelta porque era muy evidente que x=2 la resuelve, obviamente, x=2+7k es tambien solución, pero nos quedamos con la semilla de esta familia, por simplicidad. Te hago ver que el criterio de divisibilidad entre 7 lo puedes construir, en lugar de restarle 2 veces el ultimo digito, sumarlo 5 veces, ya que -2+7=5, pero eso dependerá de la situación particular que se presente y lo que convenga.
Con esta misma idea puedes construir criterios de divisibilidad entre 13, 17, etc. El de 11 es especial y no requiere este "truco".
Si tienes interés, escribeme y con gusto te doy mas detalles.
FELIZ NAVIDAD !
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2006-12-19 12:12:21 · answer #1 · answered by Ser 3 · 1⤊ 0⤋
A ver si mis respuestas son adecuadas a lo que requieres:
1) Divisibilidad por 2:
Para cualquier n,m enteros, tales que n>0 y m>0
n = p mod 2 siendo p = 2m
2) Divisibilidad por 3:
n= s mod 3 siendo s la suma de las cifras del número n
Para cualquier entero tal que n>0
3) Divisibilidad entre 5:
n = c mod 5 donde c entero termina en 5 o en cero
y hasta aquí llego.
2006-12-19 19:22:31 · answer #2 · answered by CHESSLARUS 7 · 0⤊ 0⤋