La trasformata di Fourier di una funzione sempre positiva è sempre positiva?

Question

è importante rispondete solo se siete sicuri

Answer 1

No. Consideriamo ad esempio una porta, cioè una funzione del tipo:
_
|
| f(x) = A quando |x| < B
|
| f(x) = 0 quando |x| >= B
L

La trasformata di Fourier della porta è del tipo (senx)/x che non è una funzione sempre positiva nonostante la funzione di partenza lo sia.


Il discorso va reso un po' più formale.
Innanzitutto a rigore consideriamo trasformate di Fourier non solo di funzioni reali di variabile reale ma anche di distribuzioni.
Tralascio le distribuzioni che forse lei non conosce per soffermarmi sulla trasformata di funzioni.
Facciamo inoltre finta che la trasformata sia una funzione (in generale è una distribuzione), anche se i matematici mi odieranno profondamente...
La trasformata di Fourier è definita (in campo ingegneristico, ma anche qualche Matematico utilizza questa convenzione*) in questo modo (sempre che l'operazione di trasformazione sia sensata - vedere condizioni sufficienti di trasformabilità):

F {x(t)}(f) := § [ x(t) * exp(-2 * pi * j * f * t) dt ], dove
x(t) sia la funzione da trasformare
§ indica l'integrale generalizzato (da -infinito a +infinito)
exp(...) indica e (la base dei log naturali) elevato alla...
pi è il pi greco
j è l'unità immaginaria
* indica il prodotto (NON l'integrale di convoluzione!!)
Ho scritto F{x(t)}(f) per rammentare che la trasformata di x(t) è una funzione nella variabile indipendente f.

La trasformata di Fourier è una funzione complessa di variabile complessa (anche se la funzione da trasformare è reale!) e quindi a priori non ha senso chiedersi se essa sia positiva.

Alle volte tuttavia capita che la trasformata di Fourier sia una funzione reale (cioè la parte immaginaria della trasformata è identicamente nulla). Ma anche in questo caso non si può trarre una conclusione sul segno della trasformata in base a delle informazioni sul segno della funzione da trasformare (ritengo che questa "indecidibilità" sia una conseguenza della moltiplicazione per l'esponenziale e della successiva integrazione).

Comunque, il mio esempio dovrebbe chiarire questo fatto.
Consideriamo una x(t) reale tale che la sua trasformata sia ancora reale. Il caso classico è quello della funzione porta che ho scritto sopra.
La sua trasformata vale [sen(2pi * B * f)] / pi* f, che è una funzione che non è sempre positiva ma anche negativa.

Quindi la risposta alla sua domanda è negativa. Ho fornito un tentativo di dimostrazione (il fatto che la trasformata è una funzione a rigore complessa) e un controesempio per chiarire il concetto.
Spero che la mia risposta sia utile e comprensibile (anche se non del tutto rigorosa dal punto di vista matematico).


Per Kemper: guardi che io ho scritto "La trasformata di Fourier è una funzione complessa di variabile complessa [in realtà è una distribuzione] e quindi a priori non ha senso chiedersi se essa sia positiva", cioè proprio quello che dice lei.



*
Altri preferiscono definire la trasformata di Furier in funzione della pulsazione w = 2 * pi * f. Tale definizione è scarsamente utilizzata in campo ingegneristico poichè dà qualche problema quando devo antitrasformare.

Answer 2

Scusa ma la domanda è mal posta e correggo anche Danilo.
La trasformata di Fourier è un operatore che si applica alle funzioni complesse e con argomento nel campo dei numeri complessi:

F(f): fF
Quindi non è possibile stabilire una relazione d'ordine in suddetto campo, cioè maggiore o minore di zero (complesso)

Answer 3

Anche se non sono sicurissimo credo di si...non ho mai visto esempi di trasformate di Fourier positive diventare negative. Comunque mi ha ncuriosito la tua domanda voglio vedere cosa rispondono gli altri...

Ecco mi sbagliavo...grazie danilo per la risposta...