peut on avoir une suite convergente mais non monotone?

Answer 1

Bien sûr. Un cas fréquent est celui d'une suite "alternée", qui oscille autour de sa limite en s'en rapprochant de plus en plus. (-1)^n/n est un bon exemple. En fait pour montrer la convergence d'une suite, tu as plusieurs méthodes courantes:
- voir que ta suite est monotone et bornée (croissante et majorée ou décroissante ou minorée) ce qui la force à converger:
- majorer, en valeur absolue, la différence du terme général avec le candidat limite, par un terme qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini. Tu n'as pas besoin d'avoir une suite alternée mais il faut déjà que tu aies un candidat limite à valider.
- dans le cas d'une suite alternée, étudier à part les termes pairs et impairs, voir que les deux suites convergent et regarder si la limite est la même.
- transformer ta suite en série, en écrivant le n-ième terme comme la somme du premier terme et de toutes les différences entre deux termes consécutifs et voir que tu as affaire à une série convergente (cf. programme de Maths Spé). Dans le cas de 1/n, par exemple, la différence entre deux termes consécutifs est en O(1/n²) ce qui permet de conclure. Cette méthode ne nécessite pas d'avoir affaire à une suite alternée mais ne donne pas nécessairement l'expression de la limite.

Enfin, rappelons un résultat de topologie: Bolzano-Weierstrass: si tu considères une suite qui, au-delà d'un certain rang, évolue dans un compact, alors tu peux en extraire une sous-suite qui converge (propriété moins forte que la convergence de la suite d'origine).

Answer 2

oui
[(-1)^n]/n par exemple.

Answer 3

Oui! par exemple la suite cos(1/n). Tu pourrais \'egalement consid\'erer une suite convergente dans un espace topologique sur lequel il n'y a pas de relation d'ordre (par exemple R^{k} avec k >=2 un entier); dans ce cas la monotonie n'a aucun sens!!

Answer 4

Evidemment, c'est un grand classique d'ailleurs que de démonter qu'un suite donnée converge de manière monotone.