Wie kann ich beweisen, dass a=b ist?

Question

Ich habe mal gelesen, dass wenn man zeigen kann, dass a<= b und b<=a, dass es dann daraus folgt, dass a = b ist. Stimmt das?

Answer 1

Zum Beispiel so:

a <= b

ist äquivalent zu

a = b - u

wobei u eine rationale Zahl ist mit u >= 0

Analog ist

b <= a

äquivalent zu

b = a - v

wobei v eine rationale Zahl ist mit v >= 0.

Also ist das angegebene Ungleichungssystem äquivalent zu dem Gleichungssystem

a = b - u (u rational und u >= 0)
b = a - v (v rational und v >= 0)

Damit kann man rechnen; subtrahiere b von der oberen Gleichung und (b - v) von der unteren. Ergebnis:

a - b = -u (u rational und u >= 0)
v = a - b (v rational und v >= 0)

also durch Gleichsetzen

v = -u (u und v rational, u >= 0, v >= 0)

oder auch durch Addition von u

u + v = 0 (u und v rational, u >= 0, v >= 0)

daraus folgt

u = v = 0

und durch Einsetzen in eine der obigen Gleichungen im ursprünglichen Gleichungssystem

a = b

q.e.d.


P.S.: Christian, leider hast Du die zu beweisende Aussage implizit in Deine Voraussetzung gesteckt. So geht's leider nicht.



Verstöße: 5 (Blutiger Anfänger)

Answer 2

Ich würde es so schreiben

I Wenn a<=b dann gilt mit x>=0 -> b-x=a
II Wenn b<=a dann gilt mit x>=0 -> a-x=b

Wenn ich II in I einsetze gilt
a-2x=a und damit
2x = 0

Einzige Lösung ist x=0 daraus folgt b=a

Answer 3

Das stimmt absolut. Da B nicht gleichzeitig groesser und kleiner als A sein kann, muss A = B sein.

Answer 4

1)a<=b
b<=a, kann man auch als 2)a>=b schreiben.
daraus folgt das 3)a= b+c ist ( c Element R^+0, da >=b)
dieses setz man nun in 1) ein:
1) b+c<=b
c<= b- b
c<=0
Da c Element R^+0 ist fällt <0 weg und es bleibt c=0 übrig.
Das setzt man wieder in 3) ein:
3)a= b+c
a= b+0
a=b
q.e.d. sag ich nur!

Answer 5

Das ist doch trivial:

Da sagst ja nicht "kleiner als", bzw "größer als", sondern "kleiner gleich" und "größer gleich".

Answer 6

Meiner Meinung nach stimmt das!
Denn a kann unmöglich grösser als b sein, während b auch grösser als a ist!

Beweisen kann ich's nicht, braucht nur ein bisschen logisches denken...

Answer 7

ja natürlich, anders kann es doch gar nicht sein. wenn du zum beispiel weißt, dass b=1 ist und du weiß, dass a eine zahl ist, die sowohl kleinergleich als auch größergleich b sein kann, dann muss a gleich b sein, also hier auch 3. weil wenn se größer als 3 wäre, wäre a nicht mehr kleinergleich b und wenn se kleiner als 3 wäre, wäre a nicht mehr größergleich b.

Answer 8

....wenn du genau so schlau wie dein bruder bist und dein bruder genau so schlau (oder als alternative so "groß") wie deine schwester, dann bist du nun mal genauso schlau/groß wie deine schwester.

also stimmt die von dir genannte behauptung (war das nicht das kommutativgesetz ?: bin zu faul zu googeln) !!

wenn du keine schwester hast: dann kann ich dir leider auch nicht helfen ;-)

Answer 9

Das stimmt, weil ja mit der ersten Aussage bewiesen ist, dass a nicht größer als b ist. a kann also nur kleiner oder gleich b sein. mit der zweiten aussage ist bewiesen, dass a nicht kleiner als b ist. Wenn a aber weder kleiner noch größer b ist, können sie nur gleich groß sein, was anderes bleibt nicht übrig.

Answer 10

Bei einem Quadrat ja.