pourquoi racine Niéme de x = x à la puissance (1/n) (démonstration)?

Answer 1

C'est une convention, mais il faut en démontrer la consistance.
On décide d'abord d'écrire racine nième (x^m) = x puissance (m/n) par convention.
Ensuite, il faut se taper la démonstration que c'est cohérent avec la notation initiale où les exposants sont entiers. Pour cela il faudra vérifier que la convention nouvelle vérifie les 3 propriétés des puissances entières :
(x^a)^b= x^(ab) quand a et b sont rationnels et non plus entiers
(x^a)*(x^b)= x ^(a+b) idem
(x^a)/(x^b)= x ^(a-b) si a>b.
(exercice simplissime à faire)
C'est seulement quand on a montré que la convention respecte ces 3 propriétés, qu'on a le droit alors de manipuler les puissances rationnelles comme les autres.

idem pour 1/(x^a)= x^(-a) : on en fait la convention, et on vérifie les 3 propriétés.

Answer 2

Ben c'est la définition de la racine n-ième.

Answer 3

Il n'y a pas de démonstration. C'est une définition. Point barre.

Answer 4

Parce que (x puissance n) puissance 1/n = x puissance n/n = x puissance 1 = x

Answer 5

En maths on progresse de deux manières
1) en explorant les conséquences de ce que l'on sait
1 + 1 = 2 dont 2 + 1 = ... (ou le théorème de Phythalès (sourire)² )
2) en complétant (les trous) tout en gardant une cohérence à l'ensemble

un nombre à la puissance n c'est ce nombre multiplié par lui même

a x a x a x ...x a (22 termes) = a²²
on en déduit a²² x a²² = ... (a à la puissance 44)
ou encore (a²²)² = ... (a à la puissance 22 x 2 c'est à dire 44)
la fonction inverse de la fonction "prendre le carré d'un nombre" est (pour les nombres positifs) la fonction (par définition)
"prendre la racine carrée d'un nombre"
or on a déjà cette fonction
puisque d'après nos règles précédentes
si je calcule a² à la puissance 1/2
j'obtiens a
les deux notations "racine carrée" et "puissance 1/2" (on dit plutôt "exposant 1/2") sont donc équivalentes
si au lieu de prendre 2 comme exposant (puissance) on prend un nombre quelconque n
cela s'écrit
la fonction inverse de la fonction "prendre la puissance n ième d'un nombre" est (pour les nombres positifs) la fonction (par définition)
"prendre la racine nième d'un nombre"

or on a déjà cette fonction
puisque d'après nos règles précédentes
si je calcule a puissance n à la puissance 1/n
j'obtiens a
les deux notations "racine n-ième" et "puissance 1/n" sont donc équivalentes

Answer 6

Comme la multiplication est l'opération inverse de la division, la fonction inverse de la puissance nieme et la racine nieme.
Comme par convention on note x¨^n tu vois que l'opération inverse devient 1/n.
Tu peux aussi passer par les log si tu veux log(x^n)=Nlog(x)
donc logx=1/N log(X^n).
C'est toute la force du calcul symbolique tout devient si limpide.

Answer 7

En fait, c'est presque une définition, mais s'il te faut une démo pour comprendre comment on arrive à ça à partir de la def de la racine Nieme:

x=x^(1) <- jusque là... rien de transcendant...

x=x^(N/N) <- jusqu'ici, ça ne sert toujours à rien... c'est juste un jeu d'écriture

d'où:
(1) x= ( x^N )^(1/N) <- décomposition de la puissance

d'un autre côté, on a :

(2) x= "racine Nieme" de (x^N)

par identification de (1) et (2), on a "racine Nieme"=( ) ^ (1/N)

Answer 8

vu ton autre question sur la racine carre, ya moyen qu on te demande de faire une recurrence

genre si rcine n de x = x puiss 1/n

on obtient, etc..

Answer 9

Soit n l'indice du radical et x le radicance.L'exposant du radicance est 1 et son dénominateur est l'indice du radical.Donc,la racine Nième du radicance est égale à la radicance à la puissance de l'inverse de l'indice du radicale.
racine Nieme de x=x^1/n