Existe-t-il une fonction de type "logarithme" définie dans l'ensemble des nombres complexes?

Question

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On m'a appris que la fonction logarithme népérien ln(x) ne peut s'appliquer que pour x nombre réel strictement positif. OK.

Existe-t-il cependant une fonction apparentée à ln(x) pour x nombre complexe?

On nous a appris qu'un nombre complexe z pouvait s'écrire sous au moins 2 formes:

. z = (a + ib), avec a & b réels et i nombre complexe pûr tel que i^2 = -1;

. z = r.e^(i@), où r (réel) est le module de z et @ (réel) l'argument de z.

Je sais bien que e^(i@) est l'écriture simplifiée de (cos@ + i.sin@) et que l'emploi de la fonction exponentielle est ici un peu trompeuse.

En effet, on ne peut pas considérer e^(i@) comme une exponentielle classique - donc, on ne peut pas dire que son logarithme népérien est (i@).

Mais je me demande s'il n'existerait pas quand-même une fonction de type "logarithme" qui s'appliquerait pour tout nombre complexe...

Merci pour votre aide :-)
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Ouh la la: Dieu a parlé! lol. Ok, ok: sur l'ensemble des nombres complexes non nuls! Appelons-la la fonction "lnaho"?

Gianlino: merci :-)

Je me suis en effet trompé en affirmant que la notation exponentielle était trompeuse dans l'écriture [r,@]...

Answer 1

La notation exponentielle n'a rien de trompeur. La fonction exponentielle est définie comme la somme de la série de terme général u_n(x) = x^n / n!, série absolument convergente pour tout complexe. le problème est que l'exponentielle n'est pas une bijection d'où la difficulté pour définir un logarithme. Toutefois, il y a ce qu'on appelle la détermination principale du logarithme, qui est définie sur l'ensemble des complexes privé des réels négatifs qui est définie en posant log z = log r + i Arg z où r est le module de z et Arg z est le nombre compris entre - et + pi/2 tel que
z= r e ^{ Arg z}

Answer 2

On ne peut pas construire de fonction logarithme sur C^* tout entier.
En fait, si U est un ouvert connexe (c'est a dire en un seul morceau) de C^*, la condition pour qu'une determination du logarithme existe sur U (si tu en a une, en rajoutant 2ikPi avec k entier tu en trouve d'autre) est que cet ouvert soit simplement connexe (c'est a dire que si tu fais une boucle dans U, tu peux la reduire de maniere continue en un point sant sorti de U).

Le probleme en fait c'est que si tu fait un tour au tour de 0 dans le sens positif, la valeur du logarithme est "augmente" de 2ikPi et comme l'image d'un point est unique, ca ne peut pas etre une fonction au sens usuel.
Par contre, si tu t'autorise des fonctions qui prennent plusieurs valeurs en un meme point ca devient possible... mais cela fait appel a des mathematiques un peu complexe a explique ici.

Answer 3

À la réponse de gianlino, j'ajoute que si z est un nombre réel strictement positif, alors sa notation principale sera z = r*e^0, donc log z = log r + log (e^0) = log r + 0 = log r

Vu ainsi, le log népérien n'est qu'un cas spécial du log complexe.

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La fonction hélène est normalement la mesure de la beauté, un milli-hélène étant le niveau de beauté suffisant pour envoyer un navire vers Troie.

Answer 4

Soit z un nombre complexe la fonction log (z) est par definition la fonction
$$
log(z) = |z| + arg (z)
$$
ou |z| designe le module de z et arg son argument.
exo : calculer log( z) avec z = 1+2i



Bon courage

Answer 5

bah, on peut définir le belle fonction hélène (à vous de comprendre)... sauf en 0 ..... jamais! .... mais suffit de la définir autrement

Answer 6

C'est dans Wikipedia.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_complexe

Answer 7

oui

Answer 8

Je me renseigne ....et je te recontact.

Answer 9

Oui,ça existe, il faut nous contacter personnellement, c'est à la base de beaucoup de recherches et c'est un secrêt encore bien gardé par quelques privilégiés dont nous...

Answer 10

dans la question simple et trés explicite je perçois un questionnement personnel qui exprime une possibilité de futur prix Nobel