Calcul du centre de gravité d'un secteur de couronne de cercle ??

Answer 1

Rien n'interdit de paramétrer INTELLIGEMMENT (n'est-ce pas gianlino?). Puisqu'il y a un axe de symétrie on l'utilise! Il faut utiliser un repère en polaires où le centre correspond au centre du disque d'où est issue ta couronne et où l'axe des x correspond à la bissectrice de ton secteur de disque. Les points sont donc repérés par les coordonnées (r,th) où r est la distance radiale et th la distance angulaire par rapport à l'axe Ox.
On remarque tout d'abord que puisque le point de coordonnée (r,th) appartient au secteur de disque ssi le point de coordonnée (r,-th) y est aussi, le centre de gravité aura pour distance angulaire: th=0.
Il reste donc à calculer la coordonnée radiale.
On va commencer par calculer la coordonnée radiale du centre de gravité d'un arc de cercle d'équation: R=r et -phi On remarque une nouvelle fois que ce centre de gravité est sur l'axe d'équation th=0. On repasse en cartésiennes et on calcule la coordonnée x du centre de gravité de la couronne. élémentaire, comme étant la moyenne de: r.(1-y^2)^(1/2), pour y compris entre -r.sin(phi) et r.sin(phi).
C'est aussi: r.I/sin(phi), où I désigne l'intégrale de 0 à sin(phi) de: (1-y^2)^(1/2)
Pour calculer maintenant la coordonnée du centre de gravité de la couronne complète, on doit déterminer:
I./sin(phi).[int(a,b, r^2 dr)]/(a-b) (où a et b sont les rayons intérieur et extérieur).
Soit: I/sin(phi).(a²+ab+b²).
Il reste, pour tout finir, à calculer I. On le laissera en exercice à nos jeunes jouvenceaux. Indication: on écrit la fonction sous la forme: (1-y^2)/(1-y^2)^(1/2)...

Answer 2

Il y a un axe de symétrie dans le problème et le centre de gravité est dessus. Pour le déterminer plus précisément, il faut faire une intégration sur le secteur, en passant en coordonnées polaires et en prenant pour origine des angles l'axe de symétrie. Tu cherche alpha tel que

int{(r cos theta - alpha) r dr d theta =0,

en intégrant sur un domaine du type a< r < b, 0 < theta < beta, où beta est le demi-angle au sommet de ton secteur et a et b sont les rayons des deux cercles qui le limitent. OK?