Connaissez-vous une fonction dérivable sur R mais monotone sur aucun intervalle?

Answer 1

Comme cela a été dit, si elle existe, elle n'est pas simple.

La fonction dérivée devrait déjà :

1) être limite simple d'une suite de fonctions continues (immédiat d'après la définition de la dérivée) et entre autres donc être continue sur une partie dense (d'après un résultat de Baire). Il y aurait donc des intervalles où elle serait L^1 (car mesurable et bornée autour des points de continuité...)

2) Vérifier la propriété des valeurs intermédiaires (théorème de Darboux).

3) S'annuler sur une partie dense (car elle ne peut pas être de signe constant sur un intervalle... donc d'après Darboux...)

Answer 2

Le fameux exemple d'une fonction partout continue mais nulle part monotone ni dérivable, dû à Weierstrass, ne serait certainement pas aussi célèbre si ta question avait une réponse positive. Je crois qu'une telle fonction n'existe pas ou alors elle est diabolique à construire: la dérivée devrait s'annuler sur un ensemble partout dense et n'être bornée au voisinage d'aucun point...

Answer 3

une fonction est monotone lorsqu'elle est croissante ou decroissante ainsi toute fonction constante est derivable sur R mais monotone sur aucun intervale.salut

Answer 4

cette question ressemble bcp a une pose recemment. mais celle la est un peu plus dure.

La premiere reponse concerne les fonctions derivables a derivees continues et dans ce cas la la reponse est 'il n'en existe pas'

Si la fonction f est derivable en tout point de l'intervalle et que sa derivée est L^1 (integrable au sens de lebesgue) alors on a f(a)-f(b)= int_b^a{f'(t)dt} et par continuite de f, soit f est constante soit il existe un intervalle dans lequel pour tout a,b, int_b^a{f'(t)dt} est non nulle et continue par rapport a (a,b). Disons que ces integrales sont positive pour fixer les idee. il existe un intervalle sur lequel f' est positive (non trivial, c'est un exercice classique en integration) et donc f est croissante.

je cherche pour le cas simplement derivable. mais a priori, si la fonction est derivable en tout point de l'intervale, pour que le raisonement precedent ne soit pas applicable, il faut que la derivee ne soit pas L^1 sur aucun intervalle. Du coup, s'il existe des fonctions derivable en tout point mais monotone sur aucun intervalle, elle doit etre tres difficile a construire.

@malik: cette question n'est absolument pas con. ta reponse par contre (insultante et sans justification) est conne. dispense nous de ca.
@trash_k: ton raisonement est bon au debut mais tu as fait une erreur de calcul sur la fin, ce que tu obtient est ">(h2-3h1)f'(a)/2" . cela ne permet pas de conclure

@gianlino: Tu as une demonstration de la nullité de la derive sur une partie dense? ca m'interesse bcp. En fait, si u peux montrer que la derivee est nulle sur un ensemble de mesure non nulle (je sais, c'est plus que ce que tu avances) alors je pense pouvoir conclure (j'ai encore rien ecrit ceci etant).

Answer 5

Si on se place dans un cas particulier d'une fonction de classe C1 c'est-à-dire si l'on impose à la dérivée d'être continue (ou C0C1 par morceaux en se plaçant ensuite sur un intervalle où elle est C1), il ne peut exister de telle fonction.
En effet si x est fixé, alors sur tout intervalle contenant x, f' s'annule. Donc on peut trouver des zéros de f' aussi proches de x que l'on veut et vu que f' est continue, on a alors f'(x)=0, ce qui nous donne une fonction f constante et on aboutit à une contradiction.
Si on lève la condition de dérivabilité alors tout devient possible mais il devient extrêmement difficile de décrire la fonction f. L'exemple des cours boursiers a été donné plus haut. En effet, l'on modélise le cours d'une action par la combinaison d'un processus déterministe et d'un processus stochastique (défini à partir d'un mouvement brownien, voir ici pour mieux comprendre: http://fr.wikipedia.org/wiki/Mouvement_brownien ). En bref, un mouvement brownien est la limite que l'on atteint en effectuant une marche aléatoire sur des intervalles dont la longueur tend vers 0.
Si on considère une réalisation d'un mouvement brownien standard, la fonction est bien dérivable sur R, puisque définie par une intégrale stochastique, mais la dérivée n'est continue nulle part (sa valeur est purement aléatoire à chaque instant et ne dépend pas des valeurs prises précédemment [ou dans le futur d'ailleurs]) et la fonction suit alors une évolution complètement erratique.

Answer 6

il y a pas de fonction derivable sur R et non monotone car si elle est derivable alors ca derivee est continu donc il existe une intervale ou f est monotone sur cette intervalle

Answer 7

me suis trompé comme me l'a fait justement remarqué guillaume.

En tout cas, une telle fonction devrait avoir une dérivée discontinue partout, on est clairement dans les "monstres", la réponse ne peut pas être évidente.

Answer 8

oui pour généraliser la précédente reponse je pense que les fractale en sont un bon exemple

Answer 9

Mon prof nous avais cité la courbe représentative du cours de la bourses sur un an.

Mais du coup y'a pas de formule pour décrire cette fonction

Answer 10

D'accord avec l'auteur precedent. Si elle est derivable, la fonction est forcement continue par intervall.
Evidemment les intervalles peuvent etre vachement petit, du genre pour la fonction cos(a^x) quand x est suffisamment grand, mais elle est toujours continue