Non riesco a trovare una funzione biettiva da R a R\{0}!!! Mi aiutate?

Question

Ma ciò implica che questa funzione deve essere discontinua? Non posso costruire una funzione continua che soddisfi le mie ipotesi?
(a proposito l'ultima risposta era soddisfacente)

Answer 1

Io te la dico, però tu mi dici a cosa ti serve? Starai mica studiando le cardinalità?

Da R in R\{0}. Manda 0 in 1. Le cose del tipo 1/n con n naturale in 1/{n+1}. Tutto il resto lo lasci fisso. E' lo stesso principio dell'albergo di Hilbert, se sai che cos'è.

Le funzioni continue sui reali mandano intervalli in intervalli. R è un intervallo, R\{0} no.

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Ciao Tommaso.
Il principio è lo stesso dell'albergo di Hilbert nel senso che come lì spostavi tutti di una stanza per liberarne una (per esempio la numero 0), anche qui fai slittare 1/n in 1/{n+1} per liberare 1 dove vuoi mandare 0 (quello che, nel caso di Hilbert, era l'ospite "in più" e infatti quello che qui fai è aggiungere 0 a R\{0}).
Non mi sembra che servino induzioni strasfinite, in fondo sto spostando N (anche se lo vedo nella forma 1/n), tutto il resto rimane fermo. Dici che mi sbaglio?

A dire il vero si può fare proprio l'albergo di Hilbert mandando n in n+1, solo che io avevo in mente in realtà una bigezione tra (0, 1] e [0, 1].

Answer 2

f(x) = 1 se x=0
-1/x per x!=0

con x<0, f(x) va da meno infinito a zero (escluso)
con x>0 f(x) va da infinito a zero (escluso)

se è zero basta assegnare un qualsiasi valore specifico di verso da zero

Answer 3

lasci fissi gli irrazionali e poiche' esiste una bigezione tra N e Q, basta mandare ciascun razionale nel suo successivo (successivo secondo quella famosa bigezione con N)...

Continua non la puoi trovare... infatti le funzioni continue mandano connessi in connessi (se non sai cos'e' un connesso cerca su Wikipedia), R e' connesso, mentre R\{0} no!

Per esempio (o per esercizio) potresti far vedere che c'e' una funzione continua tra R+ e R... comprimi R ad un intervallo aperto usando l'arcotangente e poi da li' ad una semiretta il passo e' breve ;)

Answer 4

Ok,
buona la risposata di sparpas, solo due precisazioni:

1) il concetto d "continuità" presuppone che tu abbia una topologia sui reali, se non l'hai specificata, suppongo che tu stia supponendo quella usuale. Con la topologia usuale la vedo dura a trovare una biezione continua. Altrimenti basta che consderi la topologia discreta e la iezione continua la trovi :)

2) Per sparpas. Forse ho capito male, a non credo che il principio sia lo stesso dell'albergo di Hilbert, qui siamo sui reali (l'insieme non è induttivo) e quindi, al limite, dovresti utilizzare una induzione transfinita (su 2^{\alpeph_0} o \alpeph_1)?

Ciao.
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Ok sposti solo i naturali... non avevo letto bene scusa...
funziona con una \omega-induzione :)

Answer 5

La risposta di stefano è sbagliata: la sua funzione non è biettiva!
Infatti f(-1)=f(0).