L'imaginaire "i" mis à la puissance "i" est bien réel..!?

Answer 1

pour résumer...
i^i = exp(i*ln(i)) de façon formelle. Le seul problème a priori, c'est la validité d'un truc du genre ln(i).
On peut définir un log complexe : a=ln(A) ssi exp(a)=A. [Pour plus de détails voir un bouquin].
En se rappelant d'euler [exp(ix)=cos(x)+i*sin(x)], on trouve les solutions:
ln(i) = i(Pi/2+2k*Pi) avec k un entier.
Donc i^i=exp(-Pi/2-2k*Pi) ... i^i est donc un truc chiant qui n'a pas UNE valeur définie intrinsèque, mais on peut en choisir une via une définition précise donnée d'un log complexe.
Malgré tout, quelque soit la déf du log complexe choisi, i^i sera réel dans tous les cas.

Answer 2

i ^ i= exp( i ln (i)).

ln (i) est donc un logarithme complexe. Puisque i = exp(i.Pi/2), en considerant la determination principale du logarithme, on a :
ln(i) = i .Pi/2. Donc :
i ^ i = exp( i . i . Pi/2 ) = exp(-Pi/2)

i ^ i est donc reel, ainsi calculé. Il y a d'autres valeurs possibles (reelles egalement) en prenant d'autres determinations du logarithme. De maniere generale, ce n'est pas parce que l'expression n'est pas definie sur R que le resultat ne peut pas etre reel. De même (i+1) - i est entier, même si l'expression n'est définie que sur C.

Answer 3

i^i=exp(i*lni).
Or i=exp(i*pi/2), Donc, i^i=exp(-pi/2), qui est défini sur R.
Cependant, il faut faire attention à ce qu'on écrit car i^i=(-1)^(i/2) qui n'a pas de sens,...
C'est la magie des nombres complexes.

Answer 4

on définis la puissance d'un nombre avec un exposant entier ou fractionnaire, ou réel mais pas imaginaire.

Answer 5

i^i n'est pas défini dans R

Answer 6

si tu mets imaginaire "ere" et puissance "ance", tu obtiens l'errance.

ça, c'est du réel,et appliquable à notre monde actuel.
cdlt

Answer 7

ouah !!