Existe-t-il des fonctions définies sur R mais monotone sur aucun intervalle ?

Answer 1

pour des fonctions C1 : continues a derivee continue : non .
Si la fonction est constante : elle est monotone
sinon, il existe a tel que f ' (a) non nul. Alors, par continuite de f ', il existe un intervalle centré en a tel que sur cet intervalle, f' est du signe de a. Donc f sera strictement monotone sur cet intervalle

si tu exiges seulement que ta fonction soit continue, il faut un peu travailler : tu peux en construire en utilisant des theoremes de convergence sur les series de fonctions continues. Ta fonction continue sera donc construite comme limite d'une somme de fonctions continues. Weierstrass en a donné un bon exemple : une fonction continue sur [0, 1] mais dérivable en aucun point de cet intervalle. Il se trouve qu'on peut montrer qu'elle est egalement non monotone sur aucun intervalle :

On considere une suite de fonctions (fi)i€N, affines par morceaux, continues, definies sur [0,1].
On les définit par les points ou leur pente change, elles sont affines entre ces points :
quelque soit i > 0, fi(0) = fi(1) = 0

f1(1/2) = 1/2

f2(1/8) = f2(2/8) = f2(3/8) = ....= f2(7/8) = 0
f2(1/16) = f2(3/16) = ....= f2(15/16) = 1/4
La fonction f2 aura donc 8 pics, et entre 0 et 1/8 la fonction f2 est similaire a la fonction f1 : elle présente 1 pic, la pente de chaque portion affine vaut successivement 4, -4, 4, -4 ....

On recommence : f3 presentera 8 pics entre 0 et 1/8 d'amplitude 1/8, idem sur [2/8, 3/8] etc.... La pente de chaque morceau de f3 vaut donc successivement 16, -16; 16; -16.... sur chaque intervalle [k/64; (k+1)/64)], k=0...63

On pose F = Limite (Somme (fk, k=1..n)) n-> +infini

On montre que F est continue comme somme normalement convergente de fonctions continues.

On peut montrer que F n'est pas monotone en montrant qu'elle ne l'est pas sur chaque intervalle de type [k/2^n ; (k+2)/2^n],

voir le lien http://matexo.emath.fr/exemaalt/exos_individuels/pdf_imprimable/applications-continues-non-derivables.pdf

Answer 2

La reponse a ta question depend de la regularite que tu impose a tes candidates.

Si ta fonction f est C^1 (i.e. continue à derivee continue) alors f'^-1(R++) est un ouvert de R. Tout ouvert de R est reunion denombrable disjointe de d'ouvert connexe (c'est a dire des intervalles dans R). donc ou bien f est croissante sur un intervalle, ou bien f'<=0. Si f'<=0 alors on refait la meme chose avec f'^-1(R--) qui est un ouvert de R. et la soit on obtient un intervalle sur lequel f est decroissante soit on conclut que f est constante.

Si tu prends juste une fonction continue alors tu peux avoir des fonction qui ne sont monotone sur aucun intervalle (celles que l'on appelle fractales parfois) comme par example x->sum(2^-n cos(5^n x),n=0..infini)

Answer 3

Oui, tu peux prendre par exemple la fonction définie sur R par :
- si x est rationnel, f(x)=x.
- si x est irrationnel, f(x)=0.

Cette fonction est bien définie sur R, mais n'est monotone sur aucun intervalle (différent d'un singleton bien sûr sinon on est dans un cas trivial...).
En effet, suppose qu'elle est monotone, par exemple croissante sur I, alors cela voudrait dire que pour tout x,y dans I, avec x

Answer 4

J'imagine que les fonctions sont supposées continues sinon un contre-exemple immédiat consiste à prendre f(x)=x pour x rationnel et f(x)=-x pour x irrationnel.

Answer 5

Tu me fais penser à la fonction partie entière E(x), def sur R

Answer 6

Bah y=0 est continue sur R, mais constante, donc non strictement monotone.

J'imagine que tu parlais de monotonie au sens large, donc là ça me paraît beaucoup plus difficile.
Dès lors où il y a continuité de ƒ, pour tout x Є R, lim (x-) ƒ = lim (x+) ƒ = ƒ(x), donc ta fonction sera toujours monotone sur un intervalle, selon moi.

En revanche, il existe des fonctions continues sur R mais non dérivables sur R, il s'agit des fonctions de Weierstrass : http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_Weierstrass

PS : Au temps pour moi. J'avais lu "continues" et non "définies" dans ta question.
Si c'est seulement "définies", alors les réponses au dessus sont les bonnes.