Exponentielle de matrice?

Question

Question difficile je crois, j'espère que certains pourront me donner une idée de démonstration.

La fonction exponentielle e : Mn(R) -> Mn(R) n'est bien sûr pas surjective, car les matrices de déterminant négatif n'ont pas d'antécédent.

(pour ceux qui bloquent là, pas la peine de lire la suite)

Est-ce que la fonction exponentielle e : Mn(R) -> Mn(R)+ (ou Mn(R)+ désigne l'ensemble des matrices d'ordre n et de déterminant strictement positif) est surjective ?

Je crois que la réponse est non, mais je n'ai vraiment aucune idée de preuve...

Pour nassisco : quand tu parles de la fonction réciproque, cela implique que ta fonction initiale est bijective... donc surjective. Donc la tu admets qu'elle est surjective puis tu montres qu'elle est surjective...

Pour jeff et Guillaume : le théorème que vous utilisez affirme que si A et B sont deux matrices diagonalisables, alors elles commutent ssi elles sont simultanément diagonalisables.

Vous prenez une matrice A diagonale, vous posez A=exp(B), et, comme A et B commutent, vous utilisez le théorème précédent pour dire qu'elles sont diagonalisables dans la même base.
Vous oubliez, pour utiliser le théorème, de dire que B est diagonalisable. Or à priori ca n'est pas parce que A est diagonale qu exp(A)=B est diagonalisable !
Enfin pour ma part je ne connais pas de propriété de ce genre, donc si vous êtes convaincu que c'est vrai, pourriez-vous me le montrer ?

Answer 1

Soit D une matrice diagonale a valeurs propres toutes disctinctes dont au moins deux sont negative et verifiant det(D)>0.

Si A est un antecedant de D par exp, alors A commute avec D et donc A et D sont diagonalisable dans la meme base et comme il n'existe qu'une base (a permutation pres) qui diagonalise D, A est deja diagonale.

Les elements de la diagonale de D sont donc les exponentielles d'element de A ABSURDE

Donc pour avoir un espoir de surjectivite pour n>1, il faut au moins demander que l'espace d'arriver n'ai que des matrices a valeur propre positive. ( et je soupsonne qu'il faut qu'elles soient trigonalisable)

Remarque: Soient u et v E endomorphisme de K^n commutant avec **u ayant n valeurs propres distinctes**. (je n'ai jamais affirme que c'etait vrai pour toute matrice diagonalisable... c'est evidement faux pour l'identite par exemple. L'hypothese sur les valeurs propres est tres importante)
Soit alpha une valeur propre de u et p un vecteur propre associe a alpha.
alors v(u(p))=u(v(p)) donc alpha v(p)= u(v(p)) donc v(p) est dans le sous espace propre de u associe a la valeur propre alpha. Or cet espace est une droite (car il y a n ss espace propre en somme directe) donc v(p) et p sont colineaire et p est un vecteur propre de v.
On peut faire ce raisonement pour toute valeur propre. ce qui conclu l'affaire.

Remmarque++: en fait, il y a un theoreme de representation des groupe qui assure que si une matrice M a n valeurs propres distinctes alors son commuttant (l'ensemble des matrice qui commute avec elle) est engendre par les puissance de M (plus precisement comm(M)=vect(M^k,k=0..n) ). Et cette condition est necessaire.

Remmarque pour les personne qui utilise le developement en serie entiere de ln: on ne peut calculer le logarithme d'une matrice M par ce procede que s'il existe une norme sous multiplicative telle que |M|<1. ce n'est donc pas le cas de toutes les matrices (et loin de la). c'est assez rassurant car on eu plonger C* dans GL(n,R) pour n>1 et on ne peut pas definir de logarithme sur C*. En fait on peut definir un logarithme sur un ouvert de l'espace des matrice inversible que si cet ouvert est simplement connexe et inclus dans l'image de l'exponentielle.
Ce que vous avez montre par contre c'est qu'il existe un voisinage de l'identite qui est dans l'image de l'exponentielle (et que ce voisinage est un boule pour une certaine metrique d'ailleurs dont 0 est dans la frontiere)

Answer 2

Dans le cas de Jeff, on peut voir qu'il y a un antécédent comme suit.
Une rotation d'angle pi/4 a un logarithme qu'on obtient par développement en série entière au voisinage de l'identité. Une fois qu'on a ce logarithme N on prend prend 4N dont l'exponentielle sera la puissance 4 de la rotation de départ, i.e. -I_2, c'est à dire l'exemple de Jeff.

Answer 3

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là je sèche! C'est pas faute d'avoir réfléchi mais maintenant, je dois me prendre 3 paquets d'aspirine!

Answer 4

prenons n = 2
considérons la matrice M = - I_2

det(M) = 1 > 0

on cherche a resoudre M = exp(N)

Supposons avoir trouvé N.
M et N commutent, car N commute avec tout puissance d'elle meme, et par passage a la limite (fonctons continues)

alors M etant diagonalisable (car diagonale) M et N sont diagonalisables dans la meme base (exercice classique)

On est donc ramene au cas où M et N sont diagonales.

M est inchangée dans la nouvelle base.

on cherche donc à trouver deux réels lambda1 et lambda2 tels

que exp(lambda_1) = -1 et exp(lambda2) = -1

l'application que tu décris n'est donc pas surjective en général du moins.

Answer 5

A mon avis, tu dois essayer de te baser sur la fonction réciproque.
Tu considère la fonction (moyennant une translation ) :

ln(1+X) : M(R)+ -> M(R)

où :
1 est la matrice unité
X toute matrice de M(R)+ union la matrice nulle (en effet la matrice nulle + la matrice unité appartient bien à M(R)+).

Il te suffit de montrer que c'est une application. Et à mon avis, ça l'est. Donc c'est bien une fonction surjective que tu as là.

Answer 6

sI R=0 l'exponentielle se développe vers l'épsilone